Derivada simétrica

En matemáticas , la derivada simétrica es una operación que generaliza la derivada ordinaria . Se define como ^{[1] [2]}

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x-h)}{2h}}.}$

La expresión por debajo del límite se denomina a veces cociente de diferencias simétricas . ^{[3] [4]} Se dice que una función es diferenciable simétricamente en un punto x si su derivada simétrica existe en ese punto.

Si una función es diferenciable (en el sentido habitual) en un punto, también es diferenciable simétricamente, pero lo contrario no es cierto. Un contraejemplo muy conocido es la función de valor absoluto f ( x ) = | x | , que no es diferenciable en x = 0 , pero es simétricamente diferenciable aquí con derivada simétrica 0. Para funciones diferenciables, el cociente de diferencias simétricas proporciona una mejor aproximación numérica de la derivada que el cociente de diferencias habitual. ^[3]

La derivada simétrica en un punto dado es igual a la media aritmética de las derivadas izquierda y derecha en ese punto, si las dos últimas existen. ^{[1] [5]}

Ni el teorema de Rolle ni el teorema del valor medio son válidos para la derivada simétrica; se han probado algunas afirmaciones similares pero más débiles.

Ejemplos

La función de valor absoluto

Gráfico de la función de valor absoluto. Observe el giro brusco en x  =  0, que conduce a la no diferenciabilidad de la curva en x  =  0. Por tanto, la función no posee una derivada ordinaria en x = 0 . Sin embargo, la derivada simétrica existe para la función en x  =  0.

Para la función de valor absoluto${\displaystyle f(x)=|x|}$, usando la notación ${\displaystyle f_{s}(x)}$ para la derivada simétrica, tenemos en ${\displaystyle x=0}$ ese

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{s}(0)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(0+h)-f(0-h)}{2h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(h)-f(-h)}{2h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {|h|-|{-h}|}{2h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {|h|-|h|}{2h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{2h}}=0.\\\end{aligned}}}$

Por tanto, la derivada simétrica de la función de valor absoluto existe en ${\displaystyle x=0}$ y es igual a cero, aunque su derivada ordinaria no existe en ese punto (debido a un giro "brusco" en la curva en ${\displaystyle x=0}$).

Tenga en cuenta que en este ejemplo existen las derivadas izquierda y derecha en 0, pero son desiguales (una es -1, mientras que la otra es +1); su promedio es 0, como se esperaba.

La función x ⁻²

Gráfica de y = 1 / x ² . Tenga en cuenta la discontinuidad en x = 0 . Por tanto, la función no posee una derivada ordinaria en x = 0 . Sin embargo, la derivada simétrica existe para la función en x = 0 .

Para la función ${\displaystyle f(x)=1/x^{2}}$, a ${\displaystyle x=0}$ tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{s}(0)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(0+h)-f(0-h)}{2h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(h)-f(-h)}{2h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {1/h^{2}-1/(-h)^{2}}{2h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {1/h^{2}-1/h^{2}}{2h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{2h}}=0.\end{aligned}}}$

Nuevamente, para esta función, la derivada simétrica existe en ${\displaystyle x=0}$, mientras que su derivada ordinaria no existe en ${\displaystyle x=0}$debido a la discontinuidad en la curva allí. Además, ni la derivada izquierda ni la derecha son finitas en 0, es decir, esta es una discontinuidad esencial .

La función de Dirichlet

La función de Dirichlet , definida como

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&{\text{if }}x{\text{ is rational}}\\0,&{\text{if }}x{\text{ is irrational}}\end{cases}}}$

tiene una derivada simétrica en cada ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$, pero no es simétricamente diferenciable en ningún ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$; es decir, la derivada simétrica existe en números racionales pero no en números irracionales .

Teorema del valor cuasi-medio

La derivada simétrica no obedece al teorema del valor medio habitual (de Lagrange). Como contraejemplo, la derivada simétrica de f ( x ) = | x | tiene la imagen {−1, 0, 1}, pero las secantes para f pueden tener un rango más amplio de pendientes; por ejemplo, en el intervalo [−1, 2], el teorema del valor medio exigiría que exista un punto donde la derivada (simétrica) toma el valor${\displaystyle {\frac {|2|-|-1|}{2-(-1)}}={\frac {1}{3}}}$. ^[6]

Un teorema algo análogo al teorema de Rolle pero para la derivada simétrica fue establecido en 1967 por C. E. Aull, quien lo llamó teorema de cuasi-Rolle. Si f es continua en el intervalo cerrado [ a ,  b ] y simétricamente diferenciable en el intervalo abierto ( a ,  b ), y f ( a ) = f ( b ) = 0, entonces existen dos puntos x , y en ( a ,  b ) tal que f _s ( x ) ≥ 0, yf _s ( y ) ≤ 0. Un lema también establecido por Aull como un trampolín para este teorema establece que si f es continua en el intervalo cerrado [ a ,  b ] y simétricamente diferenciable en el intervalo abierto ( a ,  b ), y adicionalmente f ( b )> f ( a ), entonces existe un punto z en ( a ,  b ) donde la derivada simétrica no es negativa, o con la notación usada anteriormente, f _s ( z ) ≥ 0. De manera análoga, si f (b ) < f ( a ), entonces existe un punto z en ( a ,  b ) donde f _s ( z ) ≤ 0. ^[6]

El teorema del valor cuasi-medio para una función diferenciable simétricamente establece que si f es continua en el intervalo cerrado [ a ,  b ] y diferenciable simétricamente en el intervalo abierto ( a ,  b ), entonces existen x , y en ( a ,  b ) tal que ^{[6] [7]}

${\displaystyle f_{s}(x)\leq {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\leq f_{s}(y).}$

Como aplicación, el teorema del valor cuasi-medio para f ( x ) = | x | en un intervalo que contiene 0 predice que la pendiente de cualquier secante de f está entre -1 y 1.

Si la derivada simétrica de f tiene la propiedad de Darboux , entonces se cumple la (forma del) teorema del valor medio regular (de Lagrange), es decir, existe z en ( a ,  b ) tal que ^[6]

${\displaystyle f_{s}(z)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$

Como consecuencia, si una función es continua y su derivada simétrica también es continua (por lo tanto, tiene la propiedad de Darboux), entonces la función es diferenciable en el sentido habitual. ^[6]

Generalizaciones

La noción se generaliza a derivadas simétricas de orden superior y también a espacios euclidianos n - dimensionales .

La segunda derivada simétrica

La segunda derivada simétrica se define como ^{[2] [8]}

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.}$

Si el (usual) segunda derivada existe, entonces existe la segunda derivada simétrica y es igual a ella. ^[8] La segunda derivada simétrica puede existir, sin embargo, incluso cuando la segunda derivada (ordinaria) no existe. Como ejemplo, considere la función de signo ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$, que se define por

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}}$

La función de signo no es continua en cero y, por lo tanto, la segunda derivada de ${\displaystyle x=0}$no existe. Pero la segunda derivada simétrica existe para${\displaystyle x=0}$:

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(0+h)-2\operatorname {sgn}(0)+\operatorname {sgn}(0-h)}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)-2\cdot 0+(-\operatorname {sgn}(h))}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}}=0.}$

Ver también

• Esquema de diferenciación central
• Punto de densidad
• Derivada generalizada
• Generalizaciones de la derivada
• Función simétricamente continua

Notas

1. Peter R. Mercer (2014). Más cálculo de una sola variable . Saltador. pag. 173. ISBN 978-1-4939-1926-0.
2. Thomson, pág. 1.
3. Peter D. Lax; Maria Shea Terrell (2013). Cálculo con aplicaciones . Saltador. pag. 213. ISBN 978-1-4614-7946-8.
4. Shirley O. Hockett; David Bock (2005). Barron cómo prepararse para el cálculo AP . Serie educativa de Barron. págs.  53 . ISBN 978-0-7641-2382-5.
5. Thomson, pág. 6.
6. Sahoo, Prasanna; Riedel, Thomas (1998). Teoremas del valor medio y ecuaciones funcionales . World Scientific. págs. 188-192. ISBN 978-981-02-3544-4.
7. Thomson, pág. 7.
8. A. Zygmund (2002). Serie trigonométrica . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 22-23. ISBN 978-0-521-89053-3.

Referencias

• Thomson, Brian S. (1994). Propiedades simétricas de funciones reales . Marcel Dekker. ISBN 0-8247-9230-0.
• AB Kharazishvili (2005). Funciones extrañas en análisis real (2ª ed.). Prensa CRC. pag. 34. ISBN 978-1-4200-3484-4.
• Aull, CE (1967). "La primera derivada simétrica". Soy. Matemáticas. Lun . 74 (6): 708–711. doi : 10.1080 / 00029890.1967.12000020 .

Enlaces externos

• "Derivada simétrica" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Aproximación de la derivada por el cociente de diferencia simétrica (Proyecto de demostraciones de Wolfram)