Grupo Grothendieck

Grupo abeliano construido a partir de un monoide conmutativo de la misma manera que los enteros a partir de números naturales.

En matemáticas , el grupo Grothendieck construcción construye un grupo abeliano de un monoide conmutativo M de la manera más universal, en el sentido de que cualquier grupo abeliano que contiene un homomorphic imagen de M también contendrá una imagen homomorphic del grupo de Grothendieck de M . La construcción del grupo de Grothendieck toma su nombre de un caso específico en la teoría de categorías , introducido por Alexander Grothendieck en su demostración del teorema de Grothendieck-Riemann-Roch , que resultó en el desarrollo de la teoría K. Este caso específico es el monoide de clases de isomorfismo de objetos de una categoría abeliana , con la suma directa como su operación.

Grupo de Grothendieck de un monoide conmutativo

Motivación

Dado un monoide conmutativo M , el grupo abeliano K "más general" que surge de M debe construirse introduciendo inversos aditivos. Tal grupo abeliano K siempre existe; se llama el grupo de Grothendieck de M . Se caracteriza por una cierta propiedad universal y también se puede construir concretamente de M .

Tenga en cuenta que la existencia de un elemento cero en el monoide va en contra de la propiedad inversa, ya que el elemento cero incrustado en K debe tener un elemento inverso cuya suma con 0 debe ser simultáneamente 0 y 1, forzando . La construcción general en presencia de elementos cero siempre construye el grupo trivial , como el único grupo que satisface esta ecuación.${\displaystyle 0^{-1}}$${\displaystyle 0=1}$

Propiedad universal

Sea M un monoide conmutativo. Su grupo K de Grothendieck es un grupo abeliano con la siguiente propiedad universal: existe un homomorfismo monoide

${\displaystyle i:M\to K}$

tal que para cualquier homomorfismo monoide

${\displaystyle f:M\to A}$

del monoide conmutativo M a un grupo abeliano A , hay un homomorfismo de grupo único

${\displaystyle g:K\to A}$

tal que

${\displaystyle f=g\circ i.}$

Esto expresa el hecho de que cualquier grupo abeliano A que contiene una imagen homomorphic de M también contendrá una imagen homomorphic de K , K siendo el grupo abeliano "General más" que contiene una imagen homomorphic de M .

Construcciones explícitas

Ver también: Teoría K § Terminación de Grothendieck

Para construir el grupo K de Grothendieck de un monoide conmutativo M , se forma el producto cartesiano . Las dos coordenadas se supone que representan una parte positiva y una parte negativa, de manera corresponde a en K .${\displaystyle M\times M}$${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$${\displaystyle m_{1}-m_{2}}$

La adición se define por coordenadas:${\displaystyle M\times M}$

${\displaystyle (m_{1},m_{2})+(n_{1},n_{2})=(m_{1}+n_{1},m_{2}+n_{2})}$.

A continuación se define una relación de equivalencia on , tal que es equivalente a si, para algún elemento k de M , m ₁ + n ₂ + k = m ₂ + n ₁ + k (el elemento k es necesario porque la ley de cancelación no se cumple en todos los monoides). La clase de equivalencia del elemento ( m ₁ , m ₂ ) se denota por [( m ₁ , m ₂${\displaystyle M\times M}$${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$${\displaystyle (n_{1},n_{2})}$)]. Uno define K como el conjunto de clases de equivalencia. Dado que la operación de suma en M × M es compatible con nuestra relación de equivalencia, se obtiene una adición en K , y K se convierte en un grupo abeliano. El elemento de identidad de K es [(0, 0)], y la inversa de [( m ₁ , m ₂ )] es [( m ₂ , m ₁ )]. El homomorfismo envía el elemento m a [( m , 0)].${\displaystyle i:M\to K}$

Alternativamente, el grupo de Grothendieck K de M también se puede construir usando generadores y relaciones : denotando por el grupo abeliano libre generado por el conjunto M , el grupo de Grothendieck K es el cociente de por el subgrupo generado por . (Aquí + ′ y - ′ denotan la suma y resta en el grupo abeliano libre mientras que + denota la suma en el monoide M. ) Esta construcción tiene la ventaja de que se puede realizar para cualquier semigrupo M${\displaystyle (Z(M),+')}$${\displaystyle Z(M)}$${\displaystyle \{(x+'y)-'(x+y)\mid x,y\in M\}}$${\displaystyle Z(M)}$ y produce un grupo que satisface las propiedades universales correspondientes para semigrupos, es decir, el "grupo más general y más pequeño que contiene una imagen homomórfica de M ". Esto se conoce como "finalización grupal de un semigrupo" o "grupo de fracciones de un semigrupo".

Propiedades

En el lenguaje de la teoría de categorías , cualquier construcción universal da lugar a un funtor ; se obtiene así un funtor de la categoría de monoides conmutativos a la categoría de grupos abelianos que envía el monoide conmutativo M a su grupo K de Grothendieck . Este functor se deja adjunto al functor olvidadizo de la categoría de grupos abelianos a la categoría de monoides conmutativos.

Para un monoide conmutativo M , el mapa i  :  M → K es inyectivo si y solo si M tiene la propiedad de cancelación , y es biyectivo si y solo si M ya es un grupo.

Ejemplo: los enteros

El ejemplo más sencillo de un grupo de Grothendieck es la construcción de números enteros a partir de números naturales (aditivos) . Primero se observa que los números naturales (incluido el 0) junto con la adición habitual forman de hecho un monoide conmutativo Ahora, cuando se usa la construcción de grupo de Grothendieck, se obtienen las diferencias formales entre los números naturales como elementos n - my se tiene la relación de equivalencia${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle (\mathbb {N} ,+).}$

${\displaystyle n-m\sim n'-m'\Leftrightarrow n+m'+k=n'+m+k}$para algunos .${\displaystyle k\Leftrightarrow n+m'=n'+m}$

Ahora define

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :\qquad {\begin{cases}n:=[n-0]\\-n:=[0-n]\end{cases}}}$

Esto define los números enteros . De hecho, esta es la construcción habitual para obtener los números enteros a partir de los números naturales. Consulte "Construcción" en Enteros para obtener una explicación más detallada.${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Ejemplo: los números racionales positivos

De manera similar, el grupo de Grothendieck del monoide conmutativo multiplicativo (que comienza en 1) consta de fracciones formales con la equivalencia ${\displaystyle (\mathbb {N} ^{*},*)}$${\displaystyle p/q}$

${\displaystyle p/q\sim p'/q'\Leftrightarrow pq'r=p'qr}$para algunos que, por supuesto, pueden identificarse con los números racionales positivos.${\displaystyle r\Leftrightarrow pq'=p'q}$

Ejemplo: el grupo de Grothendieck de una variedad

El grupo de Grothendieck es la construcción fundamental de la K-teoría . El grupo de una variedad compacta M se define como el grupo de Grothendieck del monoide conmutativo de todas las clases de isomorfismos de haces de vectores de rango finito en M con la operación monoide dada por suma directa. Esto da un funtor contravariante de variedades a grupos abelianos. Este funtor se estudia y amplía en la teoría K topológica .${\displaystyle K_{0}(M)}$

Ejemplo: el grupo Grothendieck de un anillo

El grupo K algebraico cero de un anillo (no necesariamente conmutativo) R es el grupo de Grothendieck del monoide que consiste en clases de isomorfismo de módulos proyectivos generados finitamente sobre R , con la operación del monoide dada por la suma directa. Entonces es un functor covariante de anillos a grupos abelianos.${\displaystyle K_{0}(R)}$${\displaystyle K_{0}}$

Los dos ejemplos anteriores están relacionados: considerar el caso en que es el anillo de valor complejo funciones suaves en una variedad compacta M . En este caso, los módulos R proyectivos son duales a los paquetes vectoriales sobre M (según el teorema de Serre-Swan ). Así y somos el mismo grupo.${\displaystyle R=C^{\infty }(M)}$${\displaystyle K_{0}(R)}$${\displaystyle K_{0}(M)}$

Grothendieck group y extensiones

Definición

Otra construcción que lleva el nombre de grupo de Grothendieck es la siguiente: Sea R un álgebra de dimensión finita sobre algún campo k o, más generalmente, un anillo artiniano . Luego defina el grupo de Grothendieck como el grupo abeliano generado por el conjunto de clases de isomorfismo de módulos R generados finitamente y las siguientes relaciones: Para cada secuencia exacta corta${\displaystyle G_{0}(R)}$${\displaystyle \{[X]\mid X\in R\mathrm {-Mod} \}}$

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

de R -módulos agregan la relación

${\displaystyle [A]-[B]+[C]=0.}$

Esta definición implica que para cualquier par de finitamente generado R -modules M y N , , a causa de la división secuencia exacta corta${\displaystyle [M\oplus N]=[M]+[N]}$

${\displaystyle 0\to M\to M\oplus N\to N\to 0.}$

Ejemplos de

Sea K un campo. A continuación, el grupo Grothendieck es un grupo abeliano generado por símbolos para cualquier dimensión finita K -vector espacio V . De hecho, es isomorfo a cuyo generador es el elemento . Aquí, el símbolo para un finito K -vector espacio V se define como , la dimensión del espacio vectorial V . Suponga que uno tiene la siguiente secuencia corta exacta de espacios de K -vector.${\displaystyle G_{0}(K)}$${\displaystyle [V]}$${\displaystyle G_{0}(K)}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle [K]}$${\displaystyle [V]}$${\displaystyle [V]=\dim _{K}V}$

${\displaystyle 0\to V\to T\to W\to 0}$

Dado que cualquier secuencia corta exacta de espacios vectoriales se divide, se sostiene . De hecho, para cualesquiera dos espacios vectoriales de dimensión finita V y W se cumple lo siguiente:${\displaystyle T\cong V\oplus W}$

${\displaystyle \dim _{K}(V\oplus W)=\dim _{K}(V)+\dim _{K}(W)}$

Por tanto, la igualdad anterior satisface la condición del símbolo en el grupo Grothendieck.${\displaystyle [V]}$

${\displaystyle [T]=[V\oplus W]=[V]+[W]}$

Tenga en cuenta que cualquier espacio de dos vectores K isomórficos de dimensión finita tiene la misma dimensión. Además, cualquier espacio de dos vectores K de dimensión finita V y W de la misma dimensión son isomorfos entre sí. De hecho, todo espacio finito n -dimensional de K -vector V es isomorfo . Por tanto, la observación del párrafo anterior prueba la siguiente ecuación:${\displaystyle K^{\oplus n}}$

${\displaystyle [V]=\left[K^{\oplus n}\right]=n[K]}$

Por lo tanto, cada símbolo es generado por el elemento con coeficientes enteros, lo que implica que es isomorfo con el generador .${\displaystyle [V]}$${\displaystyle [K]}$${\displaystyle G_{0}(K)}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle [K]}$

De manera más general, sea ​​el conjunto de números enteros. El grupo de Grothendieck es un grupo abeliano generado por símbolos para cualquier grupo abeliano A generado de forma finita . Primero se observa que cualquier grupo abeliano finito G satisface eso . Se cumple la siguiente secuencia breve y exacta, donde el mapa es una multiplicación por n .${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle G_{0}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle [A]}$${\displaystyle [G]=0}$${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \to 0}$

La secuencia exacta implica que , por lo que cada grupo cíclico tiene su símbolo igual a 0. Esto a su vez implica que cada grupo abeliano finito G satisface el Teorema fundamental de grupos abelianos finitos. ${\displaystyle [\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ]=[\mathbb {Z} ]-[\mathbb {Z} ]=0}$${\displaystyle [G]=0}$

Observe que según el teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados , cada grupo abeliano A es isomorfo a una suma directa de un subgrupo de torsión y un grupo abeliano libre de torsión isomorfo a para algún entero r no negativo , llamado rango de A y denotado por . Defina el símbolo como . Entonces el grupo de Grothendieck es isomorfo a con generador De hecho, la observación hecha en el párrafo anterior muestra que todo grupo abeliano A tiene su símbolo igual al símbolo donde${\displaystyle \mathbb {Z} ^{r}}$${\displaystyle r={\mbox{rank}}(A)}$${\displaystyle [A]}$${\displaystyle [A]={\mbox{rank}}(A)}$${\displaystyle G_{0}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle [\mathbb {Z} ].}$${\displaystyle [A]}$${\displaystyle [\mathbb {Z} ^{r}]=r[\mathbb {Z} ]}$${\displaystyle r={\mbox{rank}}(A)}$. Además, el rango del grupo abeliano satisface las condiciones del símbolo del grupo Grothendieck. Supongamos que uno tiene la siguiente secuencia corta exacta de grupos abelianos:${\displaystyle [A]}$

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

Entonces, tensar con los números racionales implica la siguiente ecuación.${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle 0\to A\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \to B\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \to C\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \to 0}$

Dado que lo anterior es una breve secuencia exacta de espacios de vectores, la secuencia se divide. Por lo tanto, se tiene la siguiente ecuación.${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle \dim _{\mathbb {Q} }(B\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )=\dim _{\mathbb {Q} }(A\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )+\dim _{\mathbb {Q} }(C\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )}$

Por otro lado, también se tiene la siguiente relación. Para obtener más información, consulte: Rango del grupo abeliano .

${\displaystyle \operatorname {rank} (A)=\dim _{\mathbb {Q} }(A\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )}$

Por lo tanto, se cumple la siguiente ecuación:

${\displaystyle [B]=\operatorname {rank} (B)=\operatorname {rank} (A)+\operatorname {rank} (C)=[A]+[C]}$

Por lo tanto, se ha demostrado que es isomorfo con generador.${\displaystyle G_{0}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle [\mathbb {Z} ].}$

Propiedad Universal

El grupo Grothendieck satisface una propiedad universal. Uno hace una definición preliminar: Una función del conjunto de clases de isomorfismo de un grupo abeliano se llama aditivo si, para cada secuencia exacta , se tiene Entonces, para cualquier función aditiva , existe un único homomorfismo de grupos de tal manera que los factores a través y el mapa que toma cada objeto de que el elemento que representa su clase isomorfismo en Concretamente esto significa que satisface la ecuación para cada finitamente generado -module y es el único homomorfismo de grupos que lo hace.${\displaystyle \chi }$${\displaystyle X}$${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$${\displaystyle \chi (A)-\chi (B)+\chi (C)=0.}$${\displaystyle \chi :R{\text{-mod}}\to X}$${\displaystyle f:G_{0}(R)\to X}$${\displaystyle \chi }$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle G_{0}(R).}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f([V])=\chi (V)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle V}$${\displaystyle f}$

Ejemplos de funciones aditivas son la función de carácter de la teoría de la representación : si es un álgebra de dimensión finita , entonces se puede asociar el carácter a cada módulo de dimensión finita que se define como la traza del mapa lineal que se da por multiplicación con el elemento encendido .${\displaystyle R}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \chi _{V}:R\to k}$${\displaystyle R}$${\displaystyle V:\chi _{V}(x)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x\in R}$${\displaystyle V}$

Al elegir una base adecuada y escribir las matrices correspondientes en forma triangular de bloques, uno ve fácilmente que las funciones de caracteres son aditivas en el sentido anterior. Por la propiedad universal esto nos da un "carácter universal" tal que .${\displaystyle \chi :G_{0}(R)\to \mathrm {Hom} _{K}(R,K)}$${\displaystyle \chi ([V])=\chi _{V}}$

Si y es el anillo de grupo de un grupo finito , este mapa de caracteres incluso da un isomorfismo natural de y el anillo de caracteres . En la teoría de la representación modular de grupos finitos puede ser un campo el cierre algebraico del campo finito con p elementos. En este caso, el mapa definido de forma análoga que asocia a cada módulo su carácter de Brauer es también un isomorfismo natural en el anillo de caracteres de Brauer. De esta manera, los grupos de Grothendieck aparecen en la teoría de la representación.${\displaystyle k=\mathbb {C} }$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle G_{0}(\mathbb {C} [G])}$${\displaystyle Ch(G)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {F} _{p}}},}$${\displaystyle k[G]}$${\displaystyle G_{0}({\overline {\mathbb {F} _{p}}}[G])\to \mathrm {BCh} (G)}$

Esta propiedad universal también hace que el "receptor universal" de las características de Euler generalizadas . En particular, para cada complejo acotado de objetos en${\displaystyle G_{0}(R)}$${\displaystyle R{\text{-mod}}}$

${\displaystyle \cdots \to 0\to 0\to A^{n}\to A^{n+1}\to \cdots \to A^{m-1}\to A^{m}\to 0\to 0\to \cdots }$

uno tiene un elemento canónico

${\displaystyle [A^{*}]=\sum _{i}(-1)^{i}[A^{i}]=\sum _{i}(-1)^{i}[H^{i}(A^{*})]\in G_{0}(R).}$

De hecho, el grupo de Grothendieck se introdujo originalmente para el estudio de las características de Euler.

Grupos de Grothendieck de categorías exactas

El grupo de Grothendieck de una categoría exacta da una generalización común de estos dos conceptos . En pocas palabras, una categoría exacta es una categoría de aditivo junto con una clase de secuencias cortas se distinguen A → B → C . Las secuencias distinguidas se denominan "secuencias exactas", de ahí el nombre. Los axiomas precisos para esta clase distinguida no importan para la construcción del grupo Grothendieck.${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

El grupo de Grothendieck se define de la misma manera que antes como el grupo abeliano con un generador [ M ] para cada (clase de isomorfismo de) objeto (s) de la categoría y una relación${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle [A]-[B]+[C]=0}$

para cada secuencia exacta

${\displaystyle A\hookrightarrow B\twoheadrightarrow C}$.

Alternativamente y de manera equivalente, se puede definir el grupo de Grothendieck usando una propiedad universal: un mapa de un grupo abeliano X se llama "aditivo" si para cada secuencia exacta se tiene ; un grupo abeliano G junto con un mapeo aditivo se denomina grupo de Grothendieck de iff cada mapa aditivo se factoriza únicamente a través de φ.${\displaystyle \chi :\mathrm {Ob} ({\mathcal {A}})\to X}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle A\hookrightarrow B\twoheadrightarrow C}$${\displaystyle \chi (A)-\chi (B)+\chi (C)=0}$${\displaystyle \phi :\mathrm {Ob} ({\mathcal {A}})\to G}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \chi :\mathrm {Ob} ({\mathcal {A}})\to X}$

Cada categoría abeliana es una categoría exacta si se usa la interpretación estándar de "exacta". Esto da la noción de un grupo Grothendieck en la sección anterior si se elige - mod la categoría de módulos R generados finitamente como . Esto es realmente abeliano porque se asumió que R era artiniano y (por lo tanto, noetheriano) en la sección anterior.${\displaystyle {\mathcal {A}}:=R}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Por otro lado, toda categoría aditiva también es exacta si se declaran exactas aquellas y sólo aquellas secuencias que tienen la forma con los morfismos canónicos de inclusión y proyección. Este procedimiento produce el grupo de Grothendieck del monoide conmutativo en el primer sentido (aquí significa el "conjunto" [ignorando todas las cuestiones fundamentales] de las clases de isomorfismo en .)${\displaystyle A\hookrightarrow A\oplus B\twoheadrightarrow B}$${\displaystyle (\mathrm {Iso} ({\mathcal {A}}),\oplus )}$${\displaystyle \mathrm {Iso} ({\mathcal {A}})}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Grupos de Grothendieck de categorías trianguladas

Generalizando aún más, también es posible definir el grupo de Grothendieck para categorías trianguladas . La construcción es esencialmente similar pero usa las relaciones [ X ] - [ Y ] + [ Z ] = 0 siempre que haya un triángulo distinguido X → Y → Z → X [1].

Más ejemplos

• En la categoría abeliana de espacios vectoriales de dimensión finita sobre un campo k , dos espacios vectoriales son isomorfos si y solo si tienen la misma dimensión. Por tanto, para un espacio vectorial V

${\displaystyle [V]=\left[k^{\dim(V)}\right]\in K_{0}(\mathrm {Vect} _{\mathrm {fin} }).}$

Además, para una secuencia exacta

${\displaystyle 0\to k^{l}\to k^{m}\to k^{n}\to 0}$

m = l + n , entonces

${\displaystyle \left[k^{l+n}\right]=\left[k^{l}\right]+\left[k^{n}\right]=(l+n)[k].}$

Por lo tanto

${\displaystyle [V]=\dim(V)[k],}$

y es isomorfo ay es generado por Finalmente para un complejo acotado de espacios vectoriales de dimensión finita V *,${\displaystyle K_{0}(\mathrm {Vect} _{\mathrm {fin} })}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle [k].}$

${\displaystyle [V^{*}]=\chi (V^{*})[k]}$

donde es la característica de Euler estándar definida por${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \chi (V^{*})=\sum _{i}(-1)^{i}\dim V=\sum _{i}(-1)^{i}\dim H^{i}(V^{*}).}$

• Para un espacio anillado , se puede considerar la categoría de todas las poleas libres localmente más de X . luego se define como el grupo de Grothendieck de esta categoría exacta y nuevamente esto da un functor.${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle K_{0}(X)}$

• Para un espacio anillado , también se puede definir la categoría de ser la categoría de todas las gavillas coherentes en X . Esto incluye el caso especial (si el espacio anillado es un esquema afín ) de ser la categoría de módulos finitamente generados sobre un anillo noetheriano R . En ambos casos es una categoría abeliana y, a fortiori, una categoría exacta, por lo que se aplica la construcción anterior.${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• En el caso de que R sea ​​un álgebra de dimensión finita sobre algún campo, los grupos de Grothendieck (definidos a través de secuencias breves y exactas de módulos generados de forma finita) y (definidos mediante la suma directa de módulos proyectivos generados de forma finita) coinciden. De hecho, ambos grupos son isomorfos al grupo abeliano libre generado por las clases de isomorfismo de simples R -modules.${\displaystyle G_{0}(R)}$${\displaystyle K_{0}(R)}$

• Hay otro grupo de Grothendieck de un anillo o un espacio anillado que a veces es útil. La categoría en el caso se elige para ser la categoría de todas las poleas casi coherentes en el espacio anillado que se reduce a la categoría de todos los módulos sobre algún anillo R en el caso de esquemas afines. no es un funtor, pero sin embargo contiene información importante.${\displaystyle G_{0}}$${\displaystyle G_{0}}$

• Dado que la categoría derivada (acotada) está triangulada, también hay un grupo de Grothendieck para las categorías derivadas. Esto tiene aplicaciones en la teoría de la representación, por ejemplo. Sin embargo, para la categoría ilimitada, el grupo Grothendieck desaparece. Para una categoría derivada de algún álgebra graduada positivamente de dimensión finita compleja, hay una subcategoría en la categoría derivada ilimitada que contiene la categoría abeliana A de módulos graduados de dimensión finita cuyo grupo de Grothendieck es la terminación q -ádica del grupo de Grothendieck de A.

Ver también

• Teoría K topológica
• Secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch para calcular la teoría K topológica

Referencias

• Michael F. Atiyah , K-Theory , (Notas tomadas por DWAnderson, otoño de 1964), publicado en 1967, WA Benjamin Inc., Nueva York.
• Achar, Pramod N .; Stroppel, Catharina (2013), "Completions of Grothendieck groups", Bulletin of the London Mathematical Society , 45 (1): 200–212, arXiv : 1105.2715 , doi : 10.1112 / blms / bds079 , MR  3033967.
• "Grupo Grothendieck" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Grupo Grothendieck" . PlanetMath .
• El grupo Grothendieck de paquetes de vectores algebraicos; Cálculos de espacio afín y proyectivo
• Grupo Grothendieck de una curva compleja proyectiva suave