En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , una categoría de daga (también llamada categoría involutiva o categoría con involución [1] [2] ) es una categoría equipada con una cierta estructura llamada daga o involución . La categoría del nombre de la daga fue acuñada por Peter Selinger. [3]
Definicion formal
Una categoría de daga es una categoríaequipado con un functor involutivo esa es la identidad en los objetos , dondees la categoría opuesta .
En detalle, esto significa que se asocia a cada morfismo. en su adjunto tal que para todos y ,
Nótese que en la definición anterior, el término "adjunto" se usa de una manera análoga (e inspirada por) el sentido lineal-algebraico , no en el sentido teórico de categorías.
Algunas fuentes [4] definen una categoría con involución como una categoría de daga con la propiedad adicional de que su conjunto de morfismos está parcialmente ordenado y que el orden de los morfismos es compatible con la composición de los morfismos, es decir implica para morfismos , , siempre que sus fuentes y objetivos sean compatibles.
Ejemplos de
- La categoría Rel de conjuntos y relaciones posee una estructura de daga: para una relación dada en Rel , la relaciónes el recíproco relacional de. En este ejemplo, un morfismo autoadjunto es una relación simétrica .
- La categoría Cob de cobordismos es una categoría de daga compacta , en particular posee una estructura de daga.
- La categoría de espacios de Hilb de Hilbert también posee una estructura de daga: Dado un mapa lineal acotado , el mapa es solo su adjunto en el sentido habitual.
- Cualquier monoide con involución es una categoría de daga con un solo objeto. De hecho, cada endomorfismo hom-set en una categoría de daga no es simplemente un monoide , sino un monoide con involución, debido a la daga.
- Una categoría discreta es trivialmente una categoría de daga.
- Un grupoide (y como corolario trivial, un grupo ) también tiene una estructura de daga con el adjunto de un morfismo que es su inverso. En este caso, todos los morfismos son unitarios (definición a continuación).
Morfismos notables
En una categoría de daga , un morfismo se llama
- unitario si
- autoadjunto si
Esto último solo es posible para un endomorfismo. . Los términos unitario y autoadjunto en la definición anterior se toman de la categoría de espacios de Hilbert, donde los morfismos que satisfacen esas propiedades son entonces unitarios y autoadjuntos en el sentido habitual.
Ver también
Referencias
- ^ M. Burgin, Categorías con involución y correspondencias en categorías γ , IX Coloquio algebraico de toda la Unión, Gomel (1968), págs. 34–35; M. Burgin, Categorías con involución y relaciones en categorías γ , Transactions of the Moscow Mathematical Society, 1970, v. 22, págs. 161–228
- ^ J. Lambek , Diagrama que persigue en categorías ordenadas con involución , Journal of Pure and Applied Algebra 143 (1999), No.1–3, 293–307
- ^ P. Selinger, categorías cerradas de Dagger compact y mapas completamente positivos , Actas del 3er Taller Internacional sobre Lenguajes de Programación Cuánticos, Chicago, 30 de junio-1 de julio de 2005.
- ^ Tsalenko, M.Sh. (2001) [1994], "Categoría con involución" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Categoría de daga en nLab