Mapa de momento

En matemáticas , específicamente en geometría simpléctica , el mapa de momento (o mapa de momento ^[1] ) es una herramienta asociada con una acción hamiltoniana de un grupo de Lie sobre una variedad simpléctica , usada para construir cantidades conservadas para la acción. El mapa impulso generaliza las nociones clásicas de lineales y angulares impulso . Es un ingrediente esencial en varias construcciones de variedades simplécticas, incluidos los cocientes simplécticos ( Marsden-Weinstein ) , que se analizan a continuación, y cortes simplécticos.y sumas .

Definicion formal

Sea M una variedad con forma simpléctica ω. Supongamos que un grupo de Lie G actúa sobre M a través de simplectomorfismos (es decir, la acción de cada g en G conserva ω). Sea el álgebra de Lie de G , su dual , y${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$

${\displaystyle \langle ,\rangle :{\mathfrak {g}}^{*}\times {\mathfrak {g}}\to \mathbf {R} }$

el emparejamiento entre los dos. Cualquier ξ en induce un campo vectorial ρ (ξ) en M que describe la acción infinitesimal de ξ. Para ser precisos, en un punto x en M el vector es${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \rho (\xi )_{x}}$

${\displaystyle \left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\exp(t\xi )\cdot x,}$

donde es la función exponencial y denota el G -acción en M . ^[2] Let denotan la contracción de este campo vectorial con ω. Debido a que G actúa por simplectomorfismos, se deduce que es cerrado (para todo ξ en ).${\displaystyle \exp :{\mathfrak {g}}\to G}$${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\omega \,}$${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\omega \,}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Supongamos que no solo es cerrado sino también exacto, de modo que para alguna función . Supongamos también que el envío del mapa es un homomorfismo de álgebra de Lie. Entonces, un mapa de impulso para la acción G en ( M , ω) es un mapa tal que${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\omega \,}$${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\omega =dH_{\xi }}$${\displaystyle H_{\xi }}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to C^{\infty }(M)}$${\displaystyle \xi \mapsto H_{\xi }}$${\displaystyle \mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}}$

${\displaystyle d(\langle \mu ,\xi \rangle )=\iota _{\rho (\xi )}\omega }$

para todo ξ pulg . Aquí está la función de M a R definida por . El mapa de impulso se define de forma única hasta una constante aditiva de integración.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \langle \mu ,\xi \rangle }$${\displaystyle \langle \mu ,\xi \rangle (x)=\langle \mu (x),\xi \rangle }$

A menudo también se requiere que un mapa de momento sea G -equivariante, donde G actúa a través de la acción coadjunta . Si el grupo es compacto o semisimple, entonces siempre se puede elegir la constante de integración para hacer que el mapa de momento coadjunta sea equivariante. Sin embargo, en general, la acción coadjunta debe modificarse para hacer que el mapa sea equivariante (este es el caso, por ejemplo, del grupo euclidiano ). La modificación es por un ciclo de 1 en el grupo con valores en , como lo describió por primera vez Souriau (1970).${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$

Acciones del grupo hamiltoniano

La definición del mapa de impulso debe cerrarse . En la práctica, es útil hacer una suposición aún más sólida. Se dice que la acción G es hamiltoniana si y solo si se cumplen las siguientes condiciones. Primero, para cada ξ en la forma única es exacto, lo que significa que es igual para alguna función suave${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\omega }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\omega }$${\displaystyle dH_{\xi }}$

${\displaystyle H_{\xi }:M\to \mathbf {R} .}$

Si esto es así, entonces se puede elegir para hacer que el mapa sea lineal. El segundo requisito para que la acción G sea ​​hamiltoniana es que el mapa sea ​​un homomorfismo de álgebra de Lie desde el álgebra de funciones suaves en M bajo el corchete de Poisson .${\displaystyle H_{\xi }}$${\displaystyle \xi \mapsto H_{\xi }}$${\displaystyle \xi \mapsto H_{\xi }}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Si la acción de G sobre ( M , ω) es hamiltoniana en este sentido, entonces un mapa de momento es un mapa tal que la escritura define un homomorfismo de álgebra de Lie satisfactorio . Aquí está el campo vectorial del hamiltoniano , definido por${\displaystyle \mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle H_{\xi }=\langle \mu ,\xi \rangle }$${\displaystyle \xi \mapsto H_{\xi }}$${\displaystyle \rho (\xi )=X_{H_{\xi }}}$${\displaystyle X_{H_{\xi }}}$${\displaystyle H_{\xi }}$

${\displaystyle \iota _{X_{H_{\xi }}}\omega =dH_{\xi }.}$

Ejemplos de mapas de impulso

En el caso de una acción hamiltoniana del círculo , el álgebra dual de Lie se identifica naturalmente con , y el mapa de impulso es simplemente la función hamiltoniana que genera la acción circular.${\displaystyle G={\mathcal {U}}(1)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Otro caso clásico ocurre cuando es el paquete cotangente de y es el grupo euclidiano generado por rotaciones y traslaciones. Es decir, es un grupo de seis dimensiones, el producto semidirecto de y . Los seis componentes del mapa de momentos son los tres momentos angulares y los tres momentos lineales.${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle SO(3)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Sea una variedad suave y sea ​​su paquete cotangente, con mapa de proyección . Vamos a denotar la tautológica 1-forma sobre . Supongamos que sigue adelante . La acción inducida de sobre la variedad simpléctica , dada por para, es hamiltoniana con un mapa de impulso para todos . Aquí denota la contracción del campo vectorial , la acción infinitesimal de , con la forma 1 .${\displaystyle N}$${\displaystyle T^{*}N}$${\displaystyle \pi :T^{*}N\rightarrow N}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle T^{*}N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (T^{*}N,\mathrm {d} \tau )}$${\displaystyle g\cdot \eta :=(T_{\pi (\eta )}g^{-1})^{*}\eta }$${\displaystyle g\in G,\eta \in T^{*}N}$${\displaystyle -\iota _{\rho (\xi )}\tau }$${\displaystyle \xi \in {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\tau }$${\displaystyle \rho (\xi )}$${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \tau }$

Los hechos que se mencionan a continuación se pueden utilizar para generar más ejemplos de mapas de impulso.

Algunos datos sobre los mapas de impulso

Sean grupos de Lie con álgebras de Lie , respectivamente.${\displaystyle G,H}$${\displaystyle {\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}}}$

1. Sea una órbita coadjunta . Entonces existe una estructura simpléctica única en la que el mapa de inclusión es un mapa de impulso.${\displaystyle {\mathcal {O}}(F),F\in {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(F)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(F)\hookrightarrow {\mathfrak {g}}^{*}}$

2. Actúe sobre una variedad simpléctica con un mapa de impulso para la acción, y sea ​​un homomorfismo de grupo de Lie, que induzca una acción de on . Entonces la acción de on también es hamiltoniana, con un mapa de impulso dado por , donde es el mapa dual de ( denota el elemento de identidad de ). Un caso de especial interés es cuando es un subgrupo de Lie y es el mapa de inclusión.${\displaystyle G}$${\displaystyle (M,\omega )}$${\displaystyle \Phi _{G}:M\rightarrow {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle \psi :H\rightarrow G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle M}$${\displaystyle H}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (\mathrm {d} \psi )_{e}^{*}\circ \Phi _{G}}$${\displaystyle (\mathrm {d} \psi )_{e}^{*}:{\mathfrak {g}}^{*}\rightarrow {\mathfrak {h}}^{*}}$${\displaystyle (\mathrm {d} \psi )_{e}:{\mathfrak {h}}\rightarrow {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle e}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \psi }$

3. Sea una variedad hamiltoniana y una variedad hamiltoniana . Entonces, la acción natural de on es hamiltoniana, con el mapa de impulso la suma directa de los dos mapas de impulso y . Aquí , donde denota el mapa de proyección.${\displaystyle (M_{1},\omega _{1})}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (M_{2},\omega _{2})}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G\times H}$${\displaystyle (M_{1}\times M_{2},\omega _{1}\times \omega _{2})}$${\displaystyle \Phi _{G}}$${\displaystyle \Phi _{H}}$${\displaystyle \omega _{1}\times \omega _{2}:=\pi _{1}^{*}\omega _{1}+\pi _{2}^{*}\omega _{2}}$${\displaystyle \pi _{i}:M_{1}\times M_{2}\rightarrow M_{i}}$

4. Sea una multiplicidad hamiltoniana y una subvariedad de invariante bajo tal que la restricción de la forma simpléctica a no sea degenerada. Esto le confiere una estructura simpléctica de forma natural. Entonces, la acción de on también es hamiltoniana, con el mapa de impulso la composición del mapa de inclusión con el mapa de impulso.${\displaystyle M}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$

Cocientes simplécticos

Suponga que la acción de un grupo de Lie compacto G sobre la variedad simpléctica ( M , ω) es hamiltoniana, como se definió anteriormente, con mapa de momento . Desde la condición hamiltoniano se deduce que es invariante bajo G .${\displaystyle \mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle \mu ^{-1}(0)}$

Suponga ahora que 0 es un valor regular de μ y que G actúa libre y correctamente . Por tanto, y su cociente son ambas variedades. El cociente hereda una forma simpléctica de M ; es decir, hay una forma simpléctica única en el cociente cuyo retroceso a es igual a la restricción de ω a . Por tanto, el cociente es una variedad simpléctica, denominada cociente de Marsden-Weinstein , cociente simpléctico o reducción simpléctica de M por G y se denota . Su dimensión es igual a la dimensión de M menos el doble de la dimensión de G${\displaystyle \mu ^{-1}(0)}$${\displaystyle \mu ^{-1}(0)}$ ${\displaystyle \mu ^{-1}(0)/G}$${\displaystyle \mu ^{-1}(0)}$${\displaystyle \mu ^{-1}(0)}$${\displaystyle M/\!\!/G}$.

Conexiones planas en una superficie

El espacio de conexiones en el paquete trivial en una superficie tiene una forma simpléctica de dimensión infinita.${\displaystyle \Omega ^{1}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})}$${\displaystyle \Sigma \times G}$

${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle :=\int _{\Sigma }{\text{tr}}(\alpha \wedge \beta ).}$

El grupo de calibre actúa sobre las conexiones por conjugación . Identificar a través del emparejamiento de integración. Entonces el mapa${\displaystyle {\mathcal {G}}={\text{Map}}(\Sigma ,G)}$${\displaystyle g\cdot A:=g^{-1}(dg)+g^{-1}Ag}$${\displaystyle {\text{Lie}}({\mathcal {G}})=\Omega ^{0}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})=\Omega ^{2}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})^{*}}$

${\displaystyle \mu :\Omega ^{1}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})\rightarrow \Omega ^{2}(\Sigma ,{\mathfrak {g}}),\qquad A\;\mapsto \;F:=dA+{\frac {1}{2}}[A\wedge A]}$

que envía una conexión a su curvatura es un mapa de momento para la acción del grupo de medidores en las conexiones. En particular, el espacio de módulos de las conexiones planas, la equivalencia del módulo de calibre viene dada por reducción simpléctica.${\displaystyle \mu ^{-1}(0)/{\mathcal {G}}=\Omega ^{1}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})/\!\!/{\mathcal {G}}}$

Ver también

• Cociente GIT
• La cuantificación conmuta con la reducción .
• Grupo de Poisson-Lie
• Colector tórico
• Mecánica geométrica
• Mapa de Kirwan
• Teorema de convexidad de Kostant

Notas

1. Mapa de momento es un nombre inapropiado y físicamente incorrecto. Es una traducción errónea del momento de aplicación de la noción francesa. Consulte esta pregunta de mathoverflow para conocer el historial del nombre.
2. El campo vectorial ρ (ξ) se denomina a veces el campo vectorial Killing relativo a la acción del subgrupo de un parámetro generado por ξ. Ver, por ejemplo, ( Choquet-Bruhat & DeWitt-Morette 1977 )

Referencias

• J.-M. Souriau, Structure des systèmes dynamiques , Maîtrises de mathématiques, Dunod, París, 1970. ISSN  0750-2435 .
• SK Donaldson y PB Kronheimer, The Geometry of Four-Manifolds , Oxford Science Publications, 1990. ISBN 0-19-850269-9 . 
• Dusa McDuff y Dietmar Salamon, Introducción a la topología simpléctica , Publicaciones científicas de Oxford, 1998. ISBN 0-19-850451-9 . 
• Choquet-Bruhat, Yvonne ; DeWitt-Morette, Cécile (1977), Análisis, colectores y física , Amsterdam: Elsevier, ISBN 978-0-7204-0494-4
• Ortega, Juan-Pablo; Ratiu, Tudor S. (2004). Mapas de momento y reducción hamiltoniana . Progreso en Matemáticas. 222 . Birkhauser Boston. ISBN 0-8176-4307-9.
• Audin, Michèle (2004), Acciones de Torus sobre variedades simplécticas , Progreso en matemáticas, 93 (Segunda edición revisada), Birkhäuser, ISBN 3-7643-2176-8
• Guillemin, Victor ; Sternberg, Shlomo (1990), Técnicas simplécticas en física (Segunda ed.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-38990-9
• Woodward, Chris (2010), Mapas de momentos y teoría del invariante geométrico , Les cours du CIRM, 1 , EUDML, págs. 55–98, arXiv : 0912.1132 , Bibcode : 2009arXiv0912.1132W
• Bruguières, Alain (1987), "Propriétés de convexité de l'application moment" (PDF) , Astérisque , Séminaire Bourbaki, 145-146: 63-87