Teorema de la sicigia de Hilbert
En matemáticas , el teorema de la sicigia de Hilbert es uno de los tres teoremas fundamentales sobre los anillos polinomiales sobre campos , probado por primera vez por David Hilbert en 1890, que se introdujeron para resolver importantes cuestiones abiertas en la teoría invariante y están en la base de la geometría algebraica moderna . Los otros dos teoremas son el teorema de la base de Hilbert que afirma que todos los ideales de los anillos polinomiales sobre un campo se generan finitamente, y el Nullstellensatz de Hilbert , que establece una correspondencia biyectiva entre variedades algebraicas afines e ideales primos de anillos polinomiales.
El teorema de la sicigia de Hilbert se refiere a las relaciones , o sicigias en la terminología de Hilbert, entre los generadores de un ideal o, más generalmente, de un módulo . Como las relaciones forman un módulo, se pueden considerar las relaciones entre las relaciones; El teorema de la sicigia de Hilbert afirma que, si uno continúa de esta manera, comenzando con un módulo sobre un anillo polinomial en n indeterminados sobre un campo, finalmente se encuentra un módulo cero de relaciones, después de n pasos como máximo .
El teorema de la sicigia de Hilbert ahora se considera un resultado temprano del álgebra homológica . Es el punto de partida del uso de métodos homológicos en álgebra conmutativa y geometría algebraica.
El teorema de la sicigia apareció por primera vez en el artículo fundamental de Hilbert "Über die Theorie der algebraischen Formen" (1890). [1] El artículo se divide en cinco partes: la parte I demuestra el teorema de la base de Hilbert sobre un campo, mientras que la parte II lo demuestra sobre los números enteros. La Parte III contiene el teorema de la sicigia (Teorema III), que se usa en la Parte IV para discutir el polinomio de Hilbert. La última parte, la parte V, demuestra la generación finita de ciertos anillos de invariantes . Por cierto, la parte III también contiene un caso especial del teorema de Hilbert-Burch .
Originalmente, Hilbert definió sicigias para ideales en anillos polinomiales , pero el concepto se generaliza trivialmente a módulos (izquierda) sobre cualquier anillo .
Dado un conjunto generador de un módulo M sobre un anillo R , una relación o primera sicigia entre los generadores es una k -tupla de elementos de R tal que [2]
