En geometría algebraica, el cono normal C X Y de un subesquema X de un esquema Y es un esquema análogo al paquete normal o vecindad tubular en geometría diferencial.
Definición
El cono normal C X Y ode una incrustación i : X → Y , definida por algún conjunto de ideales I se define como la especificación relativa
Cuando la incrustación i es regular, el cono normal es el paquete normal, y el paquete vectorial en X corresponde al dual del haz I / I 2 .
Si X es un punto, entonces el cono normal y el haz normal a él también se denominan cono tangente y espacio tangente ( espacio tangente de Zariski ) al punto. Cuando Y = Spec R es afín, los medios de definición de que el cono normal a X = Spec R / I es el Spec del anillo graduado asociado de R con respecto a I .
Si Y es el producto X × X y la incrustación i es la incrustación diagonal , entonces el paquete normal a X en Y está el paquete de la tangente a X .
El cono normal (o más bien su primo proyectivo) aparece como resultado de una explosión. Precisamente, deja
ser el de soplado de Y a lo largo de X . Entonces, por definición, el divisor excepcional es la imagen previa; que es el cono proyectivo de. Por lo tanto,
- .
Las secciones globales del haz normal clasifican las deformaciones infinitesimales incrustadas de Y en X ; hay una biyección natural entre el conjunto de subesquemas cerrados de Y × k D , plano sobre el anillo D de números duales y que tiene X como la fibra especial, y H 0 ( X , N X Y ). [1]
Propiedades
Si son incrustaciones regulares , entonceses una incrustación regular y hay una secuencia natural exacta de paquetes de vectores en X : [2]
- .
Si son incrustaciones regulares de codimensiones y si es una incorporación regular de codimension , luego [3]
- .
En particular, si es un morfismo suave , entonces el paquete normal a la incrustación diagonal( r -fold) es la suma directa de r - 1 copias del paquete tangente relativo .
Si es una inmersión cerrada y si es un morfismo plano tal que , luego [4] [ cita requerida ]
Si es un morfismo suave yes una incrustación regular, entonces hay una secuencia natural exacta de paquetes de vectores en X : [5]
- ,
(que es un caso especial de una secuencia exacta para poleas cotangentes ).
Dejar ser un esquema de tipo finito sobre un campo y un subesquema cerrado. Sies de dimensión pura r ; es decir, cada componente irreducible tiene dimensión r , entonceses también de dimensión pura r . [6] (Esto puede verse como una consecuencia de la deformación del cono normal ). Esta propiedad es clave para una aplicación en la teoría de la intersección: dado un par de subesquemas cerradosen algún espacio ambiental, mientras que la intersección de la teoría del esquema tiene componentes irreductibles de varias dimensiones, dependiendo delicadamente de las posiciones de , el cono normal a es de dimensión pura.
Ejemplos de
- Dejar Sea un divisor Cartier eficaz. Entonces el paquete normal (o equivalentemente el cono normal) es [7]
- .
Incrustación no regular
Considere la incrustación no regular
entonces, podemos calcular el cono normal observando primero
Si hacemos las variables auxiliares y entonces observa que
dando la relación
Podemos usar esto para dar una presentación del cono normal: [ aclaración necesaria ]
Deformación al cono normal
Supongamos que i : X → Y es una incrustación. Esto se puede deformar a la incrustación de X en el cono normal C X Y en el siguiente sentido: existe una familia de incrustaciones parametrizadas por un elemento t de la línea proyectiva o afín, de modo que si t = 0 la incrustación es la incrustación en el cono normal, y para otros t es isomorfo a la incrustación dada i . (Consulte la construcción a continuación).
Una aplicación de esto es definir productos de intersección en el anillo de Chow . Supongamos que X y V son subsistemas cerrados de Y con intersección W , y deseamos definir el producto intersección de X y V en el anillo de Chow de Y . La deformación al cono normal en este caso significa que reemplazamos las incrustaciones de X y W en Y y V por sus conos normales C Y ( X ) y C W ( V ), por lo que queremos encontrar el producto de X y C W V en C X Y . Esto puede ser mucho más fácil: por ejemplo, si X está incrustado regularmente en Y, entonces su cono normal es un paquete de vectores, por lo que estamos reducidos al problema de encontrar el producto de intersección de un subesquema C W V de un paquete de vectores C X Y con la sección de cero X . Sin embargo este producto intersección se acaba de dar aplicando el isomorfismo Gysin a C W V .
Concretamente, la deformación al cono normal se puede construir mediante inflado. Precisamente, deja
ser la explosión de a lo largo de . El divisor excepcional es, la terminación proyectiva del cono normal; para la notación utilizada aquí, consulte las propiedades del cono # . El cono normal es un subesquema abierto de y está incrustado como una sección cero en .
Ahora, notamos:
- El mapa , la seguido de proyección, es plano.
- Hay una incrustación cerrada inducida
- M es trivial lejos de cero; es decir, y se restringe a la incrustación trivial
- .
- como el divisor es la suma
- dónde es la explosión de Y a lo largo de X y se considera un divisor de Cartier eficaz.
- Como divisores y intersecar en , dónde se sienta en el infinito en .
El elemento 1. es claro (verifique que no haya torsión). En general, dado, tenemos . Desde ya es un divisor de Cartier eficaz en , obtenemos
- ,
flexible . El ítem 3. se deriva del hecho de que el mapa de purga π es un isomorfismo alejado del centro. Los dos últimos elementos se ven a partir de cálculos locales explícitos.
Ahora, el último elemento del párrafo anterior implica que la imagen de en M no se cruza. Por lo tanto, se obtiene la deformación de i a la incrustación de sección cero de X en el cono normal.
Cono normal intrínseco
Sea X una pila de Deligne-Mumford localmente de tipo finito sobre un campo k . Sidenota el complejo cotangente de X en relación con k , entonces el paquete normal intrínseco a X es el cociente de la pila
cual es la pila de fppf - torsores en. Más concretamente, supongamos que hay un morfismo étalede un esquema K afín de tipo finito U junto con una inmersión localmente cerradaen un afín suave finito de tipo k -Esquema M . Entonces uno puede mostrar
El cono normal intrínseco a X , denotado como, luego se define reemplazando el paquete normal con el cono normal ; es decir,
Ejemplo : uno tiene eso es una intersección local completa si y solo si . En particular, si X es suave , entonceses la pila de clasificación del paquete tangente, Que es un esquema de grupo conmutativo sobre X .
De manera más general, dejemos es un morfismo de tipo Deligne-Mumford (tipo DM) de Artin Stacks que es localmente de tipo finito. Luego se caracteriza por ser la subestación cerrada de tal manera que, para cualquier mapa para cual factores a través de un mapa suave (p.ej, ), el retroceso es:
Ver también
Notas
Referencias
- Behrend, K .; Fantechi, B. (1 de marzo de 1997). "El cono normal intrínseco". Inventiones Mathematicae . 128 (1): 45–88. doi : 10.1007 / s002220050136 . ISSN 0020-9910 .
- William Fulton. (1998), Teoría de la intersección , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Folge., 2 (2ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4, MR 1644323
- Hartshorne, Robin (1977), Geometría Algebraica , Textos de Posgrado en Matemáticas , 52 , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
Enlaces externos
- Fibras del cono normal