Discretización temporal

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La discretización temporal es una técnica matemática aplicada a problemas transitorios que ocurren en los campos de la física aplicada y la ingeniería.

Los problemas transitorios a menudo se resuelven mediante la realización de simulaciones utilizando paquetes de ingeniería asistida por computadora (CAE), que requieren discretizar las ecuaciones que gobiernan tanto en el espacio como en el tiempo. Estos problemas son inestables (por ejemplo , problemas de flujo ) y, por lo tanto, requieren soluciones en las que la posición varía en función del tiempo. La discretización temporal implica la integración de cada término en diferentes ecuaciones durante un intervalo de tiempo (Δ t ).

El dominio espacial se puede discretizar para producir una forma semidiscreta: ^[1]

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}(x,t)=F(\varphi ).~}$

Si la discretización se realiza utilizando diferencias hacia atrás , la discretización temporal de primer orden se da como: ^[2]

${\displaystyle {\frac {\varphi ^{n+1}-\varphi ^{n}}{\Delta t}}=F(\varphi ),}$

Y la discretización de segundo orden se da como:

${\displaystyle {\frac {3\varphi ^{n+1}-4\varphi ^{n}+\varphi ^{n-1}}{2\Delta t}}=F(\varphi ),}$

dónde

φ = una cantidad escalar .

n + 1 = valor en el siguiente nivel de tiempo, t + Δ t .

n = valor al nivel de tiempo actual, t .

n - 1 = valor en el nivel de tiempo anterior, t - Δ t .

La función F ( ) se evalúa mediante la integración de tiempo implícito y explícito. ^[3]${\displaystyle \varphi }$

Descripción

La discretización temporal se realiza mediante la integración en el tiempo en la ecuación general discretizada. Primero, se asumen valores a un volumen de control dado P en el intervalo de tiempo t y luego se encuentra el valor en el intervalo de tiempo t + Δt. Este método establece que la integral de tiempo de una variable dada es igual a un promedio ponderado entre los valores actuales y futuros. La forma integral de la ecuación se puede escribir como:

${\displaystyle {\frac {\varphi ^{n+1}-\varphi ^{n}}{\Delta t}}=f\cdot F(\varphi ^{n+1})+(1-f)\cdot F(\varphi ^{n}),}$

donde ƒ es un peso entre 0 y 1.

ƒ = 0.0 da como resultado el esquema completamente explícito .

ƒ = 1.0 da como resultado el esquema completamente implícito .

ƒ = 0.5 da como resultado el esquema de Crank-Nicolson .

Para cualquier volumen de control, esta integración es válida para cualquier variable discretizada. La siguiente ecuación se obtiene cuando se aplica a la ecuación gobernante, incluidos los términos de fuente , convección y difusión discretizados completos . ^[4]

${\displaystyle \int \limits _{t}^{t+\Delta t}F(\varphi )\,dt=[f\cdot F_{\varphi }^{t+\Delta t}+(1-f)\cdot F_{\varphi }^{t}]\,\Delta t}$

Métodos para evaluar la función F ( )${\displaystyle \varphi }$

Después de discretizar la derivada del tiempo, queda por evaluar la función F ( ). La función ahora se evalúa mediante la integración de tiempo implícita y explícita. ^[5]${\displaystyle \varphi }$

Integración de tiempo implícito

Este método evalúa la función F ( ) en un momento futuro.${\displaystyle \varphi }$

Formulación

La evaluación que utiliza la integración de tiempo implícito se da como:

${\displaystyle {\frac {\varphi ^{n+1}-\varphi ^{n}}{\Delta t}}=F(\varphi ^{n+1}),}$

Esto se denomina integración implícita, ya que en una celda determinada se relaciona con celdas vecinas a través de  :${\displaystyle \varphi ^{n+1}}$${\displaystyle \varphi ^{n}}$${\displaystyle F(\varphi ^{n+1})}$

${\displaystyle \varphi ^{n+1}=\varphi ^{n}+\Delta tF(\varphi ^{n+1}),}$

En el caso del método implícito, la configuración es incondicionalmente estable y puede manejar un gran paso de tiempo (Δ t ). Pero la estabilidad no significa precisión. Por lo tanto, un Δ t grande afecta la precisión y define la resolución del tiempo. Pero, el comportamiento puede implicar una escala de tiempo física que debe resolverse.

Integración de tiempo explícito

Este método evalúa la función F ( ) en un momento actual.${\displaystyle \varphi }$

Formulación

La evaluación que utiliza la integración de tiempo explícito se da como:

${\displaystyle {\frac {\varphi ^{n+1}-\varphi ^{n}}{\Delta t}}=F(\varphi ^{n}),}$

Y se conoce como integración explícita ya se puede expresar de manera explícita en los valores de solución existentes, :${\displaystyle \varphi ^{n+1}}$${\displaystyle \varphi ^{n}}$

${\displaystyle \varphi ^{n+1}=\varphi ^{n}+\Delta t\,F(\varphi ^{n}),}$

Aquí, el paso de tiempo (Δ t ) está restringido por el límite de estabilidad del solucionador (es decir, el paso de tiempo está limitado por la condición de Courant-Friedrichs-Lewy . Para ser exactos con el tiempo, se debe usar el mismo paso de tiempo en todos los dominios y para ser estable, el paso de tiempo debe ser el mínimo de todos los pasos de tiempo local en el dominio. Este método también se conoce como "paso de tiempo global".

Ejemplos de

Muchos esquemas utilizan la integración de tiempo explícito. Algunos de ellos son los siguientes:

• Método Lax-Wendroff .
• Método de Runge-Kutta .

Ver también

• Condición de Courant-Friedrichs-Lewy .
• Análisis de estabilidad de Von Neumann .
• Método de elementos finitos
• Métodos explícitos e implícitos
• Chi-Wang Shu

Referencias

1. "Discretización espacial y temporal" .
2. Selección de discretización espacial y temporal
3. "Discretización de término transitorio" .
4. "Ejemplos de discretización temporal" .
5. Jirka Simunek