En matemáticas , la prueba de n -ésimo término para la divergencia [1] es una prueba simple para la divergencia de una serie infinita :
- Si o si el límite no existe, entonces diverge.
Muchos autores no nombran esta prueba ni le dan un nombre más corto. [2]
Al probar si una serie converge o diverge, esta prueba a menudo se verifica primero debido a su facilidad de uso.
Uso
A diferencia de las pruebas de convergencia más sólidas , el término prueba no puede probar por sí mismo que una serie converge . En particular, lo contrario a la prueba no es cierto; en cambio, todo lo que uno puede decir es:
- Si luego pueden o no converger. En otras palabras, si la prueba no es concluyente.
La serie armónica es un ejemplo clásico de una serie divergente cuyos términos se limitan a cero. [3] La clase más general de p -series ,
ejemplifica los posibles resultados de la prueba:
- Si p ≤ 0, entonces el término prueba identifica la serie como divergente.
- Si 0 < p ≤ 1, entonces el término prueba no es concluyente, pero la serie es divergente según la prueba integral de convergencia .
- Si 1 < p , entonces el término prueba no es concluyente, pero la serie es convergente, nuevamente por la prueba integral de convergencia.
Pruebas
La prueba generalmente se prueba en forma contrapositiva :
- Si converge, entonces
Limita la manipulación
Si s n son las sumas parciales de la serie, entonces la suposición de que la serie converge significa que
para algunos números s . Entonces [4]
Criterio de Cauchy
La suposición de que la serie converge significa que pasa la prueba de convergencia de Cauchy : para cadahay un número N tal que
válido para todos los n > N y p ≥ 1. Marco p = 1 recupera la definición de la declaración [5]
Alcance
La versión más simple del término prueba se aplica a series infinitas de números reales . Las dos demostraciones anteriores, al invocar el criterio de Cauchy o la linealidad del límite, también funcionan en cualquier otro espacio vectorial normado [6] (o cualquier grupo abeliano (escrito aditivamente)).
Notas
- ↑ Kaczor p.336
- ↑ Por ejemplo, Rudin (p.60) establece solo la forma contrapositiva y no la nombra. Brabenec (p. 156) lo llama simplemente la prueba del enésimo término . Stewart (p.709) lo llama la prueba de divergencia .
- ^ Rudin p.60
- ↑ Brabenec p.156; Stewart pág.709
- ↑ Rudin (pp.59-60) usa esta idea de prueba, comenzando con una declaración diferente del criterio de Cauchy.
- ^ Hansen p. 55; Șuhubi pág.375
Referencias
- Brabenec, Robert (2005). Recursos para el estudio del análisis real . MAA. ISBN 0883857375.
- Hansen, Vagn Lundsgaard (2006). Análisis funcional: entrar en el espacio de Hilbert . World Scientific. ISBN 9812565639.
- Kaczor, Wiesława y Maria Nowak (2003). Problemas de análisis matemático . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0821820508.
- Rudin, Walter (1976) [1953]. Principios del análisis matemático (3e ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X.
- Stewart, James (1999). Cálculo: principios trascendentales (4e ed.). Brooks / Cole. ISBN 0-534-36298-2.
- Șuhubi, Erdoğan S. (2003). Análisis funcional . Saltador. ISBN 1402016166.