La geometría de los números
La geometría de los números es un libro sobre la geometría de los números , un área de las matemáticas en la que la geometría de las redes , conjuntos repetidos de puntos en el plano o dimensiones superiores, se utiliza para derivar resultados en teoría de números . Fue escrito por Carl D. Olds , Anneli Cahn Lax y Giuliana Davidoff , y publicado por la Asociación Matemática de América en 2000 como volumen 41 de su serie de libros Anneli Lax New Mathematical Library.
The Geometry of Numbers se basa en el manuscrito de un libro que Carl D. Olds , un matemático nacido en Nueva Zelanda que trabajaba en California en la Universidad Estatal de San José , todavía estaba escribiendo cuando murió en 1979. Anneli Cahn Lax , editora de New Mathematical Library of the Mathematical Association of America , asumió la tarea de editarlo, pero quedó sin terminar cuando ella murió en 1999. Finalmente, Giuliana Davidoff se hizo cargo del proyecto y lo llevó a su publicación en 2000. [1] [2]
La Geometría de los Números es relativamente corta, [3] [4] y se divide en dos partes. La primera parte aplica la teoría de números a la geometría de los retículos y la segunda aplica los resultados de los retículos a la teoría de números. [1] Los temas de la primera parte incluyen la relación entre la distancia máxima entre líneas paralelas que no están separadas por ningún punto de una red y la pendiente de las líneas, [5] El teorema de Pick que relaciona el área de un polígono de red con el número de puntos de red que contiene, [4] y el problema del círculo de Gauss de contar puntos de red en un círculo centrado en el origen del plano. [1]
La segunda parte comienza con el teorema de Minkowski , que los conjuntos convexos centralmente simétricos de área suficientemente grande (o volumen en dimensiones más altas) necesariamente contienen un punto de red distinto de cero. Aplica esto a la aproximación diofántica , el problema de aproximar con precisión uno o más números irracionales por números racionales. Después de otro capítulo sobre las transformaciones lineales de redes, el libro estudia el problema de encontrar los valores más pequeños distintos de cero de las formas cuadráticas , y el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange , el teorema de que todo número entero no negativo se puede representar como una suma de cuatro cuadrados de números enteros Los dos capítulos finales se refieren al teorema de Blichfeldt., que las regiones planas limitadas con área se pueden traducir para cubrir al menos puntos de celosía y resultados adicionales en la aproximación diofántica. [1] Los capítulos sobre el teorema de Minkowski y el teorema de Blichfeldt, en particular, han sido llamados las "piedras fundamentales" del libro por el crítico Philip J. Davis . [2]
Un apéndice de Peter Lax se refiere a los enteros gaussianos . [6] Un segundo apéndice se refiere a los métodos basados en redes para problemas de empaquetamiento, incluido el empaquetamiento circular y, en dimensiones más altas, el empaquetamiento esférico . [4] [6] El libro se cierra con biografías de Hermann Minkowski y Hans Frederick Blichfeldt . [6]
La Geometría de los números está destinada a estudiantes de matemáticas de secundaria y de pregrado, aunque puede ser demasiado avanzada para los estudiantes de secundaria; contiene ejercicios que lo hacen adecuado para su uso en el aula. [3] Ha sido descrito como "expositivo", [4] "autónomo", [1] [3] [4] y "legible". [6]