La geometría de los números es la parte de la teoría de números que utiliza la geometría para el estudio de los números algebraicos . Normalmente, un anillo de números enteros algebraicos se ve como una red eny el estudio de estas celosías proporciona información fundamental sobre números algebraicos. [1] La geometría de los números fue iniciada por Hermann Minkowski ( 1910 ).
La geometría de los números tiene una estrecha relación con otros campos de las matemáticas, especialmente el análisis funcional y la aproximación diofántica , el problema de encontrar números racionales que se aproximen a una cantidad irracional . [2]
Los resultados de Minkowski
Suponer que es una celosía en-espacio euclidiano dimensional y es un cuerpo convexo centralmente simétrico. El teorema de Minkowski , a veces llamado primer teorema de Minkowski, establece que si, luego contiene un vector distinto de cero en .
El mínimo sucesivo se define como el inf de los números tal que contiene vectores linealmente independientes de . El teorema de Minkowski sobre mínimos sucesivos , a veces llamado segundo teorema de Minkowski , es un fortalecimiento de su primer teorema y establece que [3]
- .
Investigaciones posteriores en la geometría de los números
En 1930-1960, muchos teóricos de los números (incluidos Louis Mordell , Harold Davenport y Carl Ludwig Siegel ) llevaron a cabo investigaciones sobre la geometría de los números . En los últimos años, Lenstra, Brion y Barvinok han desarrollado teorías combinatorias que enumeran los puntos de celosía en algunos cuerpos convexos. [4]
Teorema del subespacio de WM Schmidt
En la geometría de números, el teorema del subespacio fue obtenido por Wolfgang M. Schmidt en 1972. [5] Establece que si n es un número entero positivo, y L 1 , ..., L n son formas lineales linealmente independientes en n variables con coeficientes algebraicos y si ε> 0 es cualquier número real dado, entonces el entero distinto de cero apunta x en n coordenadas con
se encuentran en un número finito de subespacios propios de Q n .
Influencia en el análisis funcional
La geometría de los números de Minkowski tuvo una profunda influencia en el análisis funcional . Minkowski demostró que los cuerpos convexos simétricos inducen normas en espacios vectoriales de dimensión finita. El teorema de Minkowski fue generalizado a espacios vectoriales topológicos por Kolmogorov , cuyo teorema establece que los conjuntos convexos simétricos que están cerrados y acotados generan la topología de un espacio de Banach . [6]
Los investigadores continúan estudiando generalizaciones a conjuntos en forma de estrella y otros conjuntos no convexos . [7]
Referencias
- ^ Clasificación de MSC, 2010, disponible en http://www.ams.org/msc/msc2010.html , Clasificación 11HXX.
- ^ Libros de Schmidt. Grötschel et alii, Lovász et alii, Lovász.
- ^ Cassels (1971) p. 203
- ^ Grötschel et alii, Lovász et alii, Lovász y Beck y Robins.
- ^ Schmidt, Wolfgang M. Norm forman ecuaciones. Ana. Matemáticas. (2) 96 (1972), págs. 526-551. Véanse también los libros de Schmidt; compare Bombieri y Vaaler y también Bombieri y Gubler.
- ^ Para el teorema de normabilidad de Kolmogorov, consulte Análisis funcional de Walter Rudin. Para obtener más resultados, consulte Schneider y Thompson y consulte Kalton et alii.
- ^ Kalton y col. Gardner
Bibliografía
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- Enrico Bombieri y Walter Gubler (2006). Alturas en geometría diofántica . Cambridge UP
- JWS Cassels . Introducción a la geometría de los números . Springer Classics in Mathematics, Springer-Verlag 1997 (reimpresión de las ediciones Springer-Verlag de 1959 y 1971).
- John Horton Conway y NJA Sloane , Sphere Packings, Lattices and Groups , Springer-Verlag, NY, 3a ed., 1998.
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- Schmidt, Wolfgang M. (1996). Aproximaciones diofánticas y ecuaciones diofánticas . Apuntes de clase en matemáticas. 1467 (2ª ed.). Springer-Verlag . ISBN 3-540-54058-X. Zbl 0754.11020 .
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- Hermann Weyl. Teoría de la reducción por equivalencia aritmética. II. Trans. Amer. Matemáticas. Soc. 51 (1942) 203–231. doi : 10.2307 / 1989946