En la teoría de la representación , una rama de las matemáticas, el teorema de mayor peso clasifica las representaciones irreductibles de un álgebra de Lie semisimple compleja. . [1] [2] Existe un teorema estrechamente relacionado que clasifica las representaciones irreductibles de un grupo de Lie compacto conectado. [3] El teorema establece que hay una biyección
del conjunto de "elementos integrales dominantes" al conjunto de clases de equivalencia de representaciones irreductibles de o . La diferencia entre los dos resultados está en la noción precisa de "integral" en la definición de un elemento integral dominante. Si está simplemente conectado, esta distinción desaparece.
El teorema fue probado originalmente por Élie Cartan en su artículo de 1913. [4] La versión del teorema para un grupo de Lie compacto se debe a Hermann Weyl . El teorema es una de las piezas clave de la teoría de la representación de las álgebras de Lie semisimple .
Declaración
Caso de álgebra de mentiras
Dejar ser un álgebra de mentira compleja semisimple de dimensión finita con subálgebra de Cartan . Dejarser el sistema raíz asociado . Luego decimos que un elementoes integral [5] si
es un número entero para cada raíz . A continuación, elegimos un conjunto de raíces positivas y decimos que un elemento es dominante si para todos . Un elemento integral dominante si es tanto dominante como integral. Finalmente, si y estan en , Nosotros decimos eso es mayor [6] que Si se puede expresar como una combinación lineal de raíces positivas con coeficientes reales no negativos.
Un peso de una representación de entonces se llama un peso más alto si es más alto que cualquier otro peso de .
El teorema de mayor peso establece entonces: [2]
- Si es una representación irreductible de dimensión finita de , luego tiene un peso más alto único, y este peso más alto es la integral dominante.
- Si dos representaciones irreductibles de dimensión finita tienen el mismo peso máximo, son isomorfas.
- Para cada elemento integral dominante , existe una representación irreducible de dimensión finita con el mayor peso .
La parte más difícil es la última; la construcción de una representación irreductible de dimensión finita con un peso máximo prescrito.
El caso de grupo compacto
Dejar Ser un grupo de Lie compacto conectado con el álgebra de Lie. y deja ser la complejidad de . Dejarser un toro máximo en con álgebra de mentira . Luego es una subálgebra de Cartan de , y podemos formar el sistema raíz asociado . La teoría procede entonces de la misma manera que en el caso del álgebra de Lie, con una diferencia crucial: la noción de integralidad es diferente. Específicamente, decimos que un elementoes analíticamente integral [7] si
es un entero siempre que
dónde es el elemento de identidad de . Todo elemento analíticamente integral es integral en el sentido del álgebra de Lie, [8] pero puede haber elementos integrales en el sentido del álgebra de Lie que no son analíticamente integrales. Esta distinción refleja el hecho de que si no está simplemente conectado, puede haber representaciones de que no provienen de representaciones de . Por otro lado, siestá simplemente conectado, las nociones de "integral" y "analíticamente integral" coinciden. [3]
El teorema de mayor peso para representaciones de [9] es entonces el mismo que en el caso del álgebra de Lie, excepto que "integral" se reemplaza por "analíticamente integral".
Pruebas
Hay al menos cuatro pruebas:
- Demostración original de Hermann Weyl desde el punto de vista del grupo compacto, [10] basada en la fórmula del carácter de Weyl y el teorema de Peter-Weyl .
- La teoría de los módulos de Verma contiene el teorema de mayor peso. Este es el enfoque adoptado en muchos libros de texto estándar (por ejemplo, Humphreys y la Parte II de Hall).
- El teorema de Borel-Weil-Bott construye una representación irreductible como el espacio de secciones globales de un amplio haz de líneas; el teorema de mayor peso resulta como consecuencia. (El enfoque usa un poco de geometría algebraica pero produce una prueba muy rápida).
- El enfoque teórico invariante : se construyen representaciones irreductibles como subrepresentaciones de un poder tensorial de las representaciones estándar. Este enfoque se debe esencialmente a H. Weyl y funciona bastante bien para grupos clásicos.
Ver también
Notas
- ^ Dixmier , Teorema 7.2.6.
- ^ a b Teoremas 9.4 y 9.5 de Hall 2015
- ^ a b Teorema 12.6 de Hall 2015
- ^ Knapp, AW (2003). "Trabajo revisado: grupos de matriz: una introducción a la teoría de grupos de mentiras, Andrew Baker; grupos de mentiras: una introducción a través de grupos lineales, Wulf Rossmann" . The American Mathematical Monthly . 110 (5): 446–455. doi : 10.2307 / 3647845 . JSTOR 3647845 .
- ^ Salón 2015 Sección 8.7
- ^ Salón 2015 Sección 8.8
- ↑ Hall 2015 Definición 12.4
- ^ Salón 2015 Proposición 12.7
- ↑ Hall 2015 Corolario 13.20
- ↑ Hall 2015 Capítulo 12
Referencias
- Dixmier, Jacques (1996) [1974], Álgebras envolventes , Estudios de posgrado en matemáticas , 11 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0560-2, MR 0498740
- Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer plato . Textos de Posgrado en Matemáticas , Lecturas en Matemáticas. 129 . Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Señor 1153249 . OCLC 246650103 .
- Hall, Brian C. (2015), grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, 222 (2a ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
- Humphreys, James E. (1972a), Introducción a las álgebras de mentiras y la teoría de la representación , Birkhäuser, ISBN 978-0-387-90053-7.