La justificación teórica y experimental de la ecuación de Schrödinger motiva el descubrimiento de la ecuación de Schrödinger , la ecuación que describe la dinámica de partículas no relativistas. La motivación utiliza fotones , que son partículas relativistas con dinámica descrita por las ecuaciones de Maxwell , como análogo para todo tipo de partículas.
- Este artículo es a nivel de posgrado. Para obtener una introducción más general al tema, consulte Introducción a la mecánica cuántica .
Ondas electromagnéticas clásicas
Naturaleza de la luz
La partícula cuántica de luz se llama fotón . La luz tiene tanto una naturaleza ondulada como una partícula . En otras palabras, la luz puede parecer hecha de fotones (partículas) en algunos experimentos y la luz puede actuar como ondas en otros experimentos. La dinámica de las ondas electromagnéticas clásicas está completamente descrita por las ecuaciones de Maxwell , la descripción clásica de la electrodinámica . En ausencia de fuentes, las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir como ecuaciones de onda en los vectores de campo eléctrico y magnético . Las ecuaciones de Maxwell describen, entre otras cosas, las propiedades ondulantes de la luz. Cuando la luz "clásica" (coherente o térmica) incide sobre una placa fotográfica o CCD, el número medio de "impactos", "puntos" o "clics" por unidad de tiempo que resultan es aproximadamente proporcional al cuadrado de los campos electromagnéticos. de la luz. Por analogía formal , la función de onda de una partícula material puede usarse para encontrar la densidad de probabilidad tomando su valor absoluto al cuadrado. A diferencia de los campos electromagnéticos, las funciones de onda de la mecánica cuántica son complejas. (A menudo, en el caso de los campos EM, la notación compleja se usa por conveniencia, pero se entiende que, de hecho, los campos son reales. Sin embargo, las funciones de onda son realmente complejas).
Las ecuaciones de Maxwell se conocían por completo a finales del siglo XIX. Las ecuaciones dinámicas de la luz eran, por tanto, bien conocidas mucho antes del descubrimiento del fotón. Esto no es cierto para otras partículas como el electrón . Se supuso a partir de la interacción de la luz con los átomos que los electrones también tenían una naturaleza tanto de partícula como de onda. La mecánica newtoniana , una descripción del comportamiento de partículas de los objetos macroscópicos , no pudo describir objetos muy pequeños como los electrones. Se realizó un razonamiento abductivo para obtener la dinámica de objetos masivos (partículas con masa ) como los electrones. La ecuación de onda electromagnética , la ecuación que describía la dinámica de la luz, se utilizó como prototipo para descubrir la ecuación de Schrödinger , la ecuación que describe la dinámica ondulatoria y partícula de partículas masivas no relativistas.
Ondas planas sinusoidales
Ecuación de ondas electromagnéticas
La ecuación de ondas electromagnéticas describe la propagación de ondas electromagnéticas a través de un medio o en el vacío . La forma homogénea de la ecuación, escrita en términos del campo eléctrico E o del campo magnético B , toma la forma:
donde c es la velocidad de la luz en el medio. En el vacío, c = 2.998 × 10 8 metros por segundo, que es la velocidad de la luz en el espacio libre .
El campo magnético está relacionado con el campo eléctrico a través de la ley de Faraday ( unidades cgs )
- .
Solución de onda plana de la ecuación de onda electromagnética
La solución sinusoidal plana para una onda electromagnética que viaja en la dirección z es ( unidades cgs y unidades SI )
para el campo eléctrico y
para el campo magnético, donde k es el número de onda ,
es la frecuencia angular de la onda, yes la velocidad de la luz . Los sombreros de los vectores indican vectores unitarios en las direcciones x, y y z. En notación compleja , la cantidades la amplitud de la onda.
Aquí
es el vector de Jones en el plano xy. La notación para este vector es la notación bra-ket de Dirac , que normalmente se usa en un contexto cuántico. La notación cuántica se utiliza aquí como anticipo de la interpretación del vector de Jones como un vector de estado cuántico. Los angulos son el ángulo que forma el campo eléctrico con el eje xy las dos fases iniciales de la onda, respectivamente.
La cantidad
es el vector de estado de la onda. Describe la polarización de la onda y la funcionalidad espacial y temporal de la onda. Para un haz de luz de estado coherente tan tenue que su número medio de fotones es mucho menor que 1, esto es aproximadamente equivalente al estado cuántico de un solo fotón.
Energía, momento y momento angular de ondas electromagnéticas
Densidad de energía de las ondas electromagnéticas clásicas.
Energía en una onda plana
La energía por unidad de volumen en los campos electromagnéticos clásicos es (unidades cgs)
- .
Para una onda plana, que se convierte en notación compleja (y, por lo tanto, se divide por un factor de 2), esto se convierte en
donde la energía se ha promediado sobre una longitud de onda de la onda.
Fracción de energía en cada componente
La fracción de energía en el componente x de la onda plana (asumiendo polarización lineal) es
con una expresión similar para el componente y.
La fracción en ambos componentes es
- .
Densidad de momento de las ondas electromagnéticas clásicas
La densidad de momento viene dada por el vector de Poynting
- .
Para una onda plana sinusoidal que viaja en la dirección z, el impulso está en la dirección z y está relacionado con la densidad de energía:
- .
La densidad de impulso se ha promediado sobre una longitud de onda.
Densidad de momento angular de ondas electromagnéticas clásicas
La densidad del momento angular es
- .
Para una onda plana sinusoidal, el momento angular está en la dirección zy viene dado por (pasando a la notación compleja)
donde nuevamente la densidad se promedia sobre una longitud de onda. Aquí los vectores unitarios polarizados circularmente a derecha e izquierda se definen como
y
- .
Operadores unitarios y conservación de energía
Una onda se puede transformar, por ejemplo, pasando a través de un cristal birrefringente o por rendijas en una rejilla de difracción . Podemos definir la transformación del estado del estado en el tiempo t al estado en el tiempo como
- .
Para conservar energía en la ola necesitamos
dónde es el adjunto de U, la transpuesta conjugada compleja de la matriz.
Esto implica que una transformación que conserva energía debe obedecer
donde I es el operador de identidad y U se denomina operador unitario . La propiedad unitaria es necesaria para asegurar la conservación de la energía en las transformaciones estatales.
Operadores hermitianos y conservación de energía
Si es una cantidad real infinitesimal , entonces la transformación unitaria está muy cerca de la matriz de identidad (el estado final está muy cerca del estado inicial) y se puede escribir
y el adjunto por
- .
El factor de i se introduce por conveniencia. Con esta convención, se demostrará que la conservación de energía requiere que H sea un operador hermitiano y que H está relacionado con la energía de una partícula.
La conservación de energía requiere
- .
Desde es infinitesimal, lo que significa que puede ser descuidado con respecto a , el último término se puede omitir. Además, si H es igual a su adjunto:
- ,
se sigue que (para traducciones infinitesimales en el tiempo )
- ,
de modo que, efectivamente, se conserva la energía.
Los operadores que son iguales a sus adjuntos se denominan hermitianos o autoadjuntos.
La traslación infinitesimal del estado de polarización es
- .
Por lo tanto, la conservación de energía requiere que se produzcan transformaciones infinitesimales de un estado de polarización mediante la acción de un operador hermitiano. Si bien esta derivación es clásica, el concepto de un operador hermitiano que genera transformaciones infinitesimales que conservan energía forma una base importante para la mecánica cuántica. La derivación de la ecuación de Schrödinger se deriva directamente de este concepto.
Analogía cuántica de la electrodinámica clásica
El tratamiento hasta este punto ha sido clásico . Sin embargo, el tratamiento mecánico cuántico de las partículas sigue una línea formalmente análoga , sin embargo, a las ecuaciones de Maxwell para la electrodinámica. El análogo de los "vectores de estado" clásicos
en la descripción clásica son vectores de estado cuántico en la descripción de fotones.
Energía, momento y momento angular de los fotones
Energía
La primera interpretación se basa en los experimentos de Max Planck y la interpretación de esos experimentos por Albert Einstein , que fue que la radiación electromagnética se compone de paquetes de energía irreductibles, conocidos como fotones . La energía de cada paquete está relacionada con la frecuencia angular de la onda por la relación
dónde es una cantidad determinada experimentalmente conocida como la constante de Planck reducida . Si hay fotones en una caja de volumen , la energía (despreciando la energía del punto cero ) en el campo electromagnético es
y la densidad de energía es
La energía de un fotón puede relacionarse con campos clásicos a través del principio de correspondencia que establece que para un gran número de fotones, los tratamientos cuántico y clásico deben coincidir. Por lo tanto, para muy grandes, la densidad de energía cuántica debe ser la misma que la densidad de energía clásica
- .
El número promedio de fotones en la caja en un estado coherente es entonces
- .
Impulso
El principio de correspondencia también determina el momento y el momento angular del fotón. Por impulso
lo que implica que el impulso de un fotón es
- (o equivalente ).
Momento angular y giro
De manera similar para el momento angular
lo que implica que el momento angular del fotón es
- .
la interpretación cuántica de esta expresión es que el fotón tiene una probabilidad de de tener un momento angular de y una probabilidad de de tener un momento angular de . Por lo tanto, podemos pensar en el momento angular del fotón que se cuantifica, así como en la energía. De hecho, esto ha sido verificado experimentalmente. Solo se ha observado que los fotones tienen momentos angulares de.
Operador de giro
El giro del fotón se define como el coeficiente deen el cálculo del momento angular. Un fotón tiene espín 1 si está en el estado y -1 si está en el Expresar. El operador de giro se define como el producto exterior.
- .
Los vectores propios del operador de giro son y con valores propios 1 y -1, respectivamente.
El valor esperado de una medición de espín en un fotón es entonces
- .
Un operador S se ha asociado con una cantidad observable, el momento angular. Los valores propios del operador son los valores observables permitidos. Esto se ha demostrado para el momento angular, pero en general es cierto para cualquier cantidad observable.
Probabilidad para un solo fotón
Hay dos formas de aplicar la probabilidad al comportamiento de los fotones; la probabilidad puede usarse para calcular el número probable de fotones en un estado particular, o la probabilidad puede usarse para calcular la probabilidad de que un solo fotón esté en un estado particular. La primera interpretación es aplicable a la luz térmica o coherente (ver Óptica cuántica ). La última interpretación es la opción para un estado Fock de fotón único . Dirac explica esto [Nota 1] en el contexto del experimento de doble rendija :
Algún tiempo antes del descubrimiento de la mecánica cuántica, la gente se dio cuenta de que la conexión entre las ondas de luz y los fotones debe ser de carácter estadístico. Lo que no se dieron cuenta claramente, sin embargo, fue que la "función de onda" da información sobre la probabilidad de que un fotón esté en un lugar particular y no el número probable de fotones en ese lugar. La importancia de la distinción se puede aclarar de la siguiente manera. Supongamos que tenemos un haz de luz que consta de una gran cantidad de fotones divididos en dos componentes de igual intensidad. Suponiendo que el haz está conectado con el número probable de fotones en él, deberíamos tener la mitad del número total en cada componente. Si ahora se hace que los dos componentes interfieran, deberíamos requerir un fotón en un componente para poder interferir con uno en el otro. A veces estos dos fotones tendrían que aniquilarse entre sí y otras veces tendrían que producir cuatro fotones. Esto contradeciría la conservación de la energía. La nueva teoría, que conecta la función de onda con las probabilidades de un fotón, supera la dificultad al hacer que cada fotón entre en parte en cada uno de los dos componentes. Entonces, cada fotón interfiere solo consigo mismo. La interferencia entre dos fotones diferentes nunca ocurre.
- Paul Dirac, Los principios de la mecánica cuántica , cuarta edición, capítulo 1
Amplitudes de probabilidad
La probabilidad de que un fotón esté en un estado de polarización particular depende de la distribución de probabilidad sobre los campos calculada por las ecuaciones clásicas de Maxwell (en la representación P de Glauber-Sudarshan de un estado de Fock de un fotón ). El número de fotones en un estado coherente en una región limitada del espacio es cuadrático en los campos. En mecánica cuántica, por analogía, el estado o amplitud de probabilidad de una sola partícula contiene la información básica de probabilidad. En general, las reglas para combinar las amplitudes de probabilidad se parecen mucho a las reglas clásicas para la composición de probabilidades: (La siguiente cita es de Baym, Capítulo 1)
- La amplitud de probabilidad para dos probabilidades sucesivas es el producto de las amplitudes para las posibilidades individuales. ...
- La amplitud de un proceso que puede tener lugar en una de varias formas indistinguibles es la suma de amplitudes para cada una de las formas individuales. ...
- La probabilidad total de que ocurra el proceso es el valor absoluto al cuadrado de la amplitud total calculada por 1 y 2.
olas de Broglie
En 1923, Louis de Broglie abordó la cuestión de si todas las partículas pueden tener tanto una naturaleza ondulatoria como una partícula similar al fotón. Los fotones se diferencian de muchas otras partículas en que no tienen masa y viajan a la velocidad de la luz. Específicamente, de Broglie preguntó si una partícula que tiene una onda y una partícula asociadas con ella es consistente con las dos grandes contribuciones de Einstein de 1905, la teoría especial de la relatividad y la cuantificación de la energía y el momento. La respuesta resultó ser positiva. La naturaleza ondulatoria y partícula de los electrones se observó experimentalmente en 1927, dos años después del descubrimiento de la ecuación de Schrödinger.
hipótesis de de Broglie
De Broglie supuso que cada partícula estaba asociada tanto con una partícula como con una onda. La frecuencia angular y número de onda de la onda se relacionó con la energía E y el momento p de la partícula por
y
- .
La cuestión se reduce a si todos los observadores de cada sistema de referencia inercial pueden ponerse de acuerdo sobre la fase de la onda. Si es así, entonces una descripción ondulatoria de partículas puede ser consistente con la relatividad especial.
Marco de descanso
Primero considere el marco de reposo de la partícula. En ese caso, la frecuencia y el número de onda de la onda están relacionados con la energía y el momento de las propiedades de las partículas por
y
donde m es la masa en reposo de la partícula.
Esto describe una onda de longitud de onda infinita y velocidad de fase infinita.
- .
La onda puede escribirse como proporcional a
- .
Sin embargo, esto también es la solución para un oscilador armónico simple , que puede considerarse como un reloj en el marco de reposo de la partícula. Podemos imaginar un reloj marcando la misma frecuencia que la onda está oscilando. Las fases de la onda y el reloj se pueden sincronizar.
Marco del observador
Se muestra que la fase de la onda en un marco de observador es la misma que la fase de la onda en un marco de partículas, y también la misma que los relojes en los dos marcos. Por lo tanto, hay consistencia tanto de una imagen ondulada como de una partícula en la relatividad especial.
Fase del reloj del observador
En el marco de un observador que se mueve a una velocidad relativa v con respecto a la partícula, se observa que el reloj de partículas marca una frecuencia
dónde
es un factor de Lorentz que describe la dilatación temporal del reloj de partículas según lo observa el observador.
La fase del reloj del observador es
dónde es el tiempo medido en el marco de las partículas. Tanto el reloj del observador como el reloj de partículas coinciden en la fase.
Fase de la onda del observador
La frecuencia y el número de onda de la onda en el marco del observador están dados por
y
con una velocidad de fase
- .
La fase de la onda en el marco del observador es
- .
La fase de la onda en el marco del observador es la misma que la fase en el marco de las partículas, como el reloj en el marco de las partículas y el reloj en el marco del observador. Por tanto, una imagen ondulatoria de partículas es coherente con la relatividad especial.
De hecho, ahora sabemos que estas relaciones se pueden escribir de manera sucinta usando una notación relativista especial de 4 vectores :
Los cuatro vectores relevantes son:
- Cuatro posiciones
- Cuatro velocidades
- Cuatro impulso
- Vector de cuatro ondas
Las relaciones entre los cuatro vectores son las siguientes:
La fase de la onda es el invariante relativista:
Átomo de Bohr
Inconsistencia de la observación con la física clásica.
La hipótesis de De Broglie ayudó a resolver cuestiones pendientes de la física atómica. La física clásica no pudo explicar el comportamiento observado de los electrones en los átomos. Específicamente, los electrones acelerados emiten radiación electromagnética según la fórmula de Larmor . Los electrones que orbitan alrededor de un núcleo deberían perder energía debido a la radiación y eventualmente entrar en espiral hacia el núcleo. Esto no se observa. Los átomos son estables en escalas de tiempo mucho más largas de lo que predice la fórmula clásica de Larmor.
Además, se observó que los átomos excitados emiten radiación con frecuencias discretas. Einstein utilizó este hecho para interpretar los paquetes de energía discretos de luz como, de hecho, partículas reales. Sin embargo, si estas partículas reales son emitidas por átomos en paquetes de energía discretos, ¿deben los emisores, los electrones, también cambiar la energía en paquetes de energía discretos? No hay nada en la mecánica newtoniana que explique esto.
La hipótesis de De Broglie ayudó a explicar estos fenómenos al señalar que los únicos estados permitidos para un electrón que orbita un átomo son aquellos que permiten ondas estacionarias asociadas con cada electrón.
Serie Balmer
La serie Balmer identifica las frecuencias de luz que pueden emitirse desde un átomo de hidrógeno excitado:
donde R se conoce como la constante de Rydberg y es igual a 13,6 electronvoltios .
Supuestos del modelo de Bohr
El modelo de Bohr, introducido en 1913, fue un intento de proporcionar una base teórica para la serie de Balmer. Los supuestos del modelo son:
- Los electrones en órbita existían en órbitas circulares que tenían energías cuantificadas discretas . Es decir, no todas las órbitas son posibles sino solo algunas específicas.
- Las leyes de la mecánica clásica no se aplican cuando los electrones saltan de una órbita permitida a otra.
- Cuando un electrón da un salto de una órbita a otra, la diferencia de energía es llevada (o suministrada) por un único cuanto de luz (llamado fotón ) que tiene una energía igual a la diferencia de energía entre los dos orbitales.
- Las órbitas permitidas dependen de valores cuantificados (discretos) del momento angular orbital , L según la ecuación
Donde n = 1, 2, 3,… y se llama número cuántico principal .
Implicaciones del modelo de Bohr
En una órbita circular, la fuerza centrífuga equilibra la fuerza de atracción del electrón.
donde m es la masa del electrón, v es la velocidad del electrón, r es el radio de la órbita y
donde e es la carga del electrón o protón.
La energía del electrón en órbita es
que se sigue de la expresión de la fuerza centrífuga.
El supuesto de momento angular del modelo de Bohr implica
lo que implica que, cuando se combina con la ecuación de la fuerza centrífuga, el radio de la órbita viene dado por
- .
Esto implica, a partir de la ecuación energética,
- .
La diferencia entre niveles de energía recupera la serie Balmer.
La contribución de De Broglie al modelo de Bohr
Los supuestos de Bohr recuperan la serie de Balmer observada. Los supuestos de Bohr en sí mismos, sin embargo, no se basan en ninguna teoría más general. ¿Por qué, por ejemplo, las órbitas permitidas deberían depender del momento angular? La hipótesis de De Broglie proporciona algunas ideas.
Si asumimos que el electrón tiene un momento dado por
postulado por la hipótesis de De Broglie, entonces el momento angular viene dado por
dónde es la longitud de onda de la onda de electrones.
Si solo se permiten ondas de electrones estacionarias en el átomo, solo se permiten órbitas con perímetros iguales a números enteros de longitudes de onda:
- .
Esto implica que las órbitas permitidas tienen momento angular.
que es la cuarta suposición de Bohr.
Los supuestos uno y dos siguen inmediatamente. La suposición tres se deriva de la conservación de energía, que De Broglie demostró que era consistente con la interpretación ondulatoria de las partículas.
Necesidad de ecuaciones dinámicas
El problema con la hipótesis de De Broglie aplicada al átomo de Bohr es que hemos forzado una solución de onda plana válida en el espacio vacío a una situación en la que hay un fuerte potencial de atracción. Aún no hemos descubierto la ecuación dinámica general para la evolución de las ondas de electrones. La ecuación de Schrödinger es la generalización inmediata de la hipótesis de De Broglie y la dinámica del fotón.
Ecuación de Schrödinger
Analogía con la dinámica de fotones
La dinámica de un fotón viene dada por
donde H es un operador hermitiano determinado por las ecuaciones de Maxwell. La hermiticidad del operador asegura que se conserva la energía.
Erwin Schrödinger asumió que la dinámica de las partículas masivas era de la misma forma que la dinámica de los fotones que conservan energía.
dónde es el vector de estado de la partícula y H es ahora un operador hermitiano desconocido por determinar.
Vector de estado de partículas
En lugar de estados de polarización como en el caso de los fotones, Schrödinger asumió que el estado del vector dependía de la posición de la partícula. Si una partícula vive en una dimensión espacial, entonces dividió la línea en un número infinito de pequeños contenedores de longitud. y asignó un componente del vector de estado a cada contenedor
- .
El subíndice j identifica el contenedor.
Forma de matriz y amplitudes de transición
La ecuación de transición se puede escribir en forma de matriz como
- .
La condición hermitiana requiere
- .
Schrödinger asumió que la probabilidad solo podría filtrarse en contenedores adyacentes durante el pequeño paso de tiempo dt. En otras palabras, todos los componentes de H son cero excepto por las transiciones entre bins vecinos
- ,
- .
Además, se supone que el espacio es uniforme en el sentido de que todas las transiciones hacia la derecha son iguales.
- .
Lo mismo ocurre con las transiciones hacia la izquierda.
- .
La ecuación de transición se convierte en
- .
El primer término del lado derecho representa el movimiento de la amplitud de probabilidad en el intervalo j desde la derecha. El segundo término representa la fuga de probabilidad del bin j a la derecha. El tercer término representa la fuga de probabilidad al contenedor j desde la izquierda. El cuarto término representa una fuga del recipiente j hacia la izquierda. El término final representa cualquier cambio de fase en la amplitud de probabilidad en el intervalo j.
Si expandimos la amplitud de probabilidad a segundo orden en el tamaño del contenedor y asumir que el espacio es isotrópico, la ecuación de transición se reduce a
- .
Ecuación de Schrödinger en una dimensión
La ecuación de transición debe ser consistente con la hipótesis de De Broglie. En el espacio libre, la amplitud de probabilidad de la onda de De Broglie es proporcional a
dónde
en el límite no relativista.
La solución de De Broglie para el espacio libre es una solución de la ecuación de transición si requerimos
y
- .
El término derivado del tiempo en la ecuación de transición se puede identificar con la energía de la onda de De Broglie. El término derivado espacial se puede identificar con la energía cinética. Esto sugiere que el término que contienees proporcional a la energía potencial. Esto produce la ecuación de Schrödinger
donde U es la energía potencial clásica y
y
- .
Ecuación de Schrödinger en tres dimensiones
En tres dimensiones, la ecuación de Schrödinger se convierte en
Átomo de hidrógeno
La solución para el átomo de hidrógeno describe ondas estacionarias de energía dadas exactamente por la serie de Balmer. Esta fue una validación espectacular de la ecuación de Schrödinger y del comportamiento ondulatorio de la materia.
Ver también
- Conceptos básicos de mecánica cuántica
- Frecuencia angular
- Ecuación de Dirac
- Formulación integral de ruta
- Efecto fotoeléctrico
- Polarización de fotones
- Electrodinámica cuántica
- Relación entre la ecuación de Schrödinger y la fórmula integral de trayectoria de la mecánica cuántica
- Experimento de Stern-Gerlach
- Dualidad onda-partícula
Notas
- ^ Esta explicación es en cierto sentido anticuada o incluso obsoleta, ya que ahora sabemos que el concepto de una función de onda de fotón único está en disputa [1] , que en un estado coherente uno de hecho trata con el número probable de fotones, dado por coherente- afirman las estadísticas de Poisson, y que diferentes fotones pueden interferir [2] .
Referencias
- Jackson, John D. (1998). Electrodinámica clásica (3ª ed.). Wiley. ISBN 047130932X.
- Baym, Gordon (1969). Conferencias de Mecánica Cuántica . WA Benjamin. ISBN 978-0805306675.
- Dirac, PAM (1958). Los principios de la mecánica cuántica (Cuarta ed.). Oxford. ISBN 0-19-851208-2.