En matemáticas , la representación theta es una representación particular del grupo de mecánica cuántica de Heisenberg . Obtiene su nombre del hecho de que la función theta de Jacobi es invariante bajo la acción de un subgrupo discreto del grupo de Heisenberg. La representación fue popularizada por David Mumford .
La representación theta es una representación del grupo continuo de Heisenberg sobre el campo de los números reales. En esta representación, los elementos del grupo actúan sobre un espacio particular de Hilbert . La construcción a continuación procede primero definiendo los operadores que corresponden a los generadores del grupo Heisenberg. A continuación, el espacio de Hilbert sobre el que se definen estos actúan, seguido de una demostración del isomorfismo a las representaciones habituales.
Generadores de grupo
Dejar que f ( z ) es una función holomorfa , dejar que una y b ser números reales , y dejarser un número complejo fijo, pero arbitrario, en el semiplano superior ; es decir, para que la parte imaginaria dees positivo. Defina los operadores S a y T b de manera que actúen sobre funciones holomórficas como
y
Puede verse que cada operador genera un subgrupo de un parámetro:
y
Sin embargo, S y T no conmutan:
Así vemos que S y T junto con una fase unitaria forman un grupo de Lie nilpotente , el grupo de Heisenberg (real continuo) , parametrizable comodonde U (1) es el grupo unitario .
Un elemento de grupo general luego actúa sobre una función holomórfica f ( z ) como
dónde es el centro de H , el subgrupo del conmutador . El parámetro en sólo sirve para recordar que cada valor diferente de da lugar a una representación diferente de la acción del grupo.
Espacio Hilbert
La acción de los elementos del grupo es unitario e irreductible en un cierto espacio de funciones de Hilbert. Para un valor fijo de τ, defina una norma en funciones completas del plano complejo como
Aquí, es la parte imaginaria de y el dominio de integración es todo el plano complejo. Dejarser el conjunto de funciones completas f con norma finita. El subíndice se usa solo para indicar que el espacio depende de la elección del parámetro . Estoforma un espacio de Hilbert . La acción de dado arriba es unitario en , es decir, conserva la norma en este espacio. Finalmente, la acción de en es irreductible .
Esta norma está estrechamente relacionada con la utilizada para definir el espacio Segal-Bargmann [ cita requerida ] .
La representación theta anterior del grupo de Heisenberg es isomórfica a la representación canónica de Weyl del grupo de Heisenberg. En particular, esto implica que y son isomorfos como H -módulos . Dejar
representan un elemento de grupo general de En la representación canónica de Weyl, para cada número real h , hay una representación actuando como
por y
Aquí, h es la constante de Planck . Cada una de estas representaciones es unitariamente desigual . La representación theta correspondiente es:
Definir el subgrupo como
La función theta de Jacobi se define como
Es una función completa de z que es invariante bajo Esto se sigue de las propiedades de la función theta:
y
cuando un y b son números enteros. Se puede demostrar que la theta de Jacobi es la única función de este tipo.