En matemáticas , el espacio de Segal-Bargmann (para Irving Segal y Valentine Bargmann ), también conocido como espacio de Bargmann o espacio de Bargmann-Fock , es el espacio de funciones holomórficas F en n variables complejas que satisfacen la condición de integrabilidad cuadrada:
donde aquí dz denota el 2 n medida de Lebesgue-dimensional deEs un espacio de Hilbert con respecto al producto interno asociado:
El espacio fue introducido en la literatura de física matemática por separado por Bargmann y Segal a principios de la década de 1960; véase Bargmann (1961) y Segal (1963) . Se puede encontrar información básica sobre el material de esta sección en Folland (1989) y Hall (2000) . Segal trabajó desde el principio en el escenario de dimensión infinita; ver Báez, Segal & Zhou (1992) y la Sección 10 de Hall (2000) para más información sobre este aspecto del tema.
Propiedades
Una propiedad básica de este espacio es que la evaluación puntual es continua , lo que significa que para cadahay una constante C tal que
A continuación, se sigue de la teorema de representación de Riesz que existe un único F una en el espacio Segal-Bargmann tal que
La función F a puede calcularse explícitamente como
donde, explícitamente,
La función F a se llama estado coherente (aplicado en física matemática ) con el parámetro a , y la función
se conoce como el núcleo de reproducción del espacio Segal-Bargmann. Tenga en cuenta que
lo que significa que la integración contra el núcleo que se reproduce simplemente devuelve (es decir, reproduce) la función F , siempre que, por supuesto, F sea un elemento del espacio (y en particular sea holomórfico).
Tenga en cuenta que
De la desigualdad de Cauchy-Schwarz se deduce que los elementos del espacio de Segal-Bargmann satisfacen los límites puntuales
Interpretación mecánica cuántica
Se puede interpretar un vector unitario en el espacio Segal-Bargmann como la función de onda para una partícula cuántica que se mueve en En esta vista, juega el papel del espacio de fase clásico, mientras que es el espacio de configuración. La restricción de que F sea holomórfica es esencial para esta interpretación; si F fuera una función integrable al cuadrado arbitraria, podría localizarse en una región arbitrariamente pequeña del espacio de fase, lo que iría en contra del principio de incertidumbre. Sin embargo, dado que se requiere que F sea holomórfico, satisface los límites puntuales descritos anteriormente, lo que proporciona un límite sobre la concentración de F en cualquier región del espacio de fase.
Dado un vector unitario F en el espacio de Segal-Bargmann, la cantidad
puede interpretarse como una especie de densidad de probabilidad de espacio de fase para la partícula. Dado que la cantidad anterior es manifiestamente no negativa, no puede coincidir con la función de Wigner de la partícula, que generalmente tiene algunos valores negativos. De hecho, la densidad anterior coincide con la función de Husimi de la partícula, que se obtiene de la función de Wigner untando con un gaussiano. Esta conexión se hará más precisa a continuación, después de que introduzcamos la transformada Segal-Bargmann.
Las relaciones canónicas de conmutación
Se pueden introducir operadores de aniquilación. y operadores de creación en el espacio Segal-Bargmann estableciendo
y
Estos operadores satisfacen las mismas relaciones que los operadores habituales de creación y aniquilación, a saber, el y conmutar entre ellos y
Además, el adjunto de con respecto al producto interno de Segal-Bargmann es (Esto es sugerido por la notación, pero nada obvio a partir de las fórmulas para y !) De hecho, Bargmann fue llevado a introducir la forma particular del producto interno en el espacio Segal-Bargmann precisamente para que los operadores de creación y aniquilación fueran adjuntos entre sí.
Ahora podemos construir operadores de "posición" y "momento" autoadjuntos A j y B j mediante las fórmulas:
Estos operadores satisfacen las relaciones de conmutación canónicas ordinarias. Se puede demostrar que A j y B j satisfacen las relaciones de conmutación exponenciadas (es decir, las relaciones de Weyl ) y que actúan de forma irreductible sobre el espacio Segal-Bargmann; consulte la Sección 14.4 de Hall (2013) .
La transformada Segal-Bargmann
Dado que los operadores A j y B j de la sección anterior satisfacen las relaciones de Weyl y actúan irreductiblemente sobre el espacio Segal-Bargmann, se aplica el teorema de Stone-von Neumann . Por tanto, existe un mapa unitario B desde la posición del espacio de Hilbert al espacio Segal-Bargmann que entrelaza estos operadores con los operadores habituales de posición y momento.
El mapa B puede calcularse explícitamente como una transformada de Weierstrass doble modificada ,
donde dx es la medida de Lebesgue n- dimensional eny donde z está enVer Bargmann (1961) y la Sección 14.4 de Hall (2013). También se puede describir ( Bf ) ( z ) como el producto interno de f con un estado coherente apropiadamente normalizado con el parámetro z , donde, ahora, expresamos los estados coherentes en la representación de posición en lugar de en el espacio Segal-Bargmann.
Ahora podemos ser más precisos sobre la conexión entre el espacio de Segal-Bargmann y la función de Husimi de una partícula. Si f es un vector unitario en entonces podemos formar una densidad de probabilidad en como
La afirmación es entonces que la densidad anterior es la función de Husimi de f , que se puede obtener de la función de Wigner de f convolucionando con un doble gaussiano (la transformada de Weierstrass ). Este hecho se verifica fácilmente usando la fórmula para Bf junto con la fórmula estándar para la función de Husimi en términos de estados coherentes.
Dado que B es unitario, su adjunto hermitiano es su inverso. Recordando que la medida en es , obtenemos así una fórmula de inversión para B como
Sin embargo, dado que Bf es una función holomórfica, puede haber muchas integrales que involucren a Bf que den el mismo valor. (Piense en la fórmula integral de Cauchy). Por lo tanto, puede haber muchas fórmulas de inversión diferentes para la transformada B de Segal-Bargmann .
Otra fórmula de inversión útil es [1]
dónde
Puede entenderse que esta fórmula de inversión dice que la posición "función de onda" f puede obtenerse a partir de la "función de onda" de espacio de fase Bf integrando las variables de momento. Esto se contrasta con la función de Wigner, donde la densidad de probabilidad de posición se obtiene a partir de la densidad de (cuasi) probabilidad del espacio de fase integrando las variables de momento.
Generalizaciones
Hay varias generalizaciones del espacio y la transformación de Segal-Bargmann. En uno de estos, [2] [3] el rol del espacio de configuraciónes interpretado por la variedad de grupo de un grupo de Lie compacto, como SU ( N ). El papel del espacio de faseluego es interpretado por la complexificación del grupo compacto de Lie, comoen el caso de SU ( N ). Los diversos gaussianos que aparecen en el espacio ordinario de Segal-Bargmann y la transformación son reemplazados por núcleos de calor . Esta transformada de Segal-Bargmann generalizada podría aplicarse, por ejemplo, a los grados de libertad de rotación de un cuerpo rígido, donde el espacio de configuración son los grupos de Lie compactos SO (3).
Esta transformada de Segal-Bargmann generalizada da lugar a un sistema de estados coherentes , conocido como estados coherentes del núcleo de calor . Estos se han utilizado ampliamente en la literatura sobre la gravedad cuántica de bucles .
Ver también
Referencias
- ^ BC Hall, "El rango del operador de calor", en The Ubiquitous Heat Kernel , editado por Jay Jorgensen y Lynne H. Walling , AMS 2006, págs. 203-231
- ^ BC Hall, " La transformación de 'estado coherente' de Segal-Bargmann para grupos de Lie compactos ", Journal of Functional Analysis 122 (1994), 103-151
- ^ BC Hall, " La transformada inversa de Segal-Bargmann para grupos de mentira compactos ", Journal of Functional Analysis 143 (1997), 98-116
Fuentes
- Bargmann, V. (1961), "En un espacio de Hilbert de funciones analíticas y una transformación integral asociada", Comunicaciones sobre matemáticas puras y aplicadas , 14 (3): 187, doi : 10.1002 / cpa.3160140303 , hdl : 10338.dmlcz / 143587
- Segal, IE (1963), "Problemas matemáticos de la física relativista", en Kac, M. (ed.), Proceedings of the Summer Seminar, Boulder, Colorado, 1960, vol. II , Lectures in Applied Mathematics, Sociedad Americana de Matemáticas, Cap. VI, LCCN 62-21480
- Folland, G. (1989), Análisis armónico en el espacio de fase , Princeton University Press , ISBN 978-0691085289
- Báez, J .; Segal, IE; Zhou, Z. (1992), Introducción a la teoría de campos cuántica algebraica y constructiva , Princeton University Press, ISBN 978-0691605128
- Hall, B. C (2000), "Métodos holomorfos en análisis y física matemática" , en Pérez-Esteva, S .; Villegas-Blas, C. (eds.), Primera Escuela de Verano en Análisis y Física Matemática: Cuantización, Transformada de Segal-Bargmann y Análisis Semiclásico , Matemáticas Contemporáneas, 260 , AMS , págs. 1-59, ISBN 978-0-8218-2115-2
- Hall, BC (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, 267 , Springer Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4614-7116-5 , ISBN 978-1-4614-7115-8