Espacio thom

En matemáticas , el espacio de Thom, el complejo de Thom o la construcción de Pontryagin-Thom (llamado así por René Thom y Lev Pontryagin ) de topología algebraica y topología diferencial es un espacio topológico asociado a un paquete de vectores , sobre cualquier espacio paracompacto .

ser un rango n verdadero paquete del vector sobre el espacio paracompacto B . Entonces, para cada punto b en B , la fibra es un espacio vectorial real dimensional . Elija una estructura ortogonal en E, un producto interior que varíe suavemente sobre las fibras; podemos hacer esto usando particiones de unidad. Sea el paquete de bolas unitarias con respecto a nuestra estructura ortogonal, y sea el paquete de esferas unitarias, entonces el espacio de Thom es el cociente de los espacios topológicos. es un espacio puntiagudo con la imagen de en el cociente como punto base. Si B ${\ Displaystyle E_ {b}}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle D (E)}$ ${\ Displaystyle S (E)}$ ${\ Displaystyle T (E)}$ ${\ Displaystyle T (E): = D (E) / S (E)}$ ${\ Displaystyle T (E)}$ ${\ Displaystyle S (E)}$ es compacto, entonces es la compactación de un punto de E . ${\ Displaystyle T (E)}$

Por ejemplo, si E es el paquete trivial , entonces y . Escribir para B con un punto base disjunto, es el producto rotundo de y ; es decir, la n -ésima suspensión reducida de . ${\ Displaystyle B \ times \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle D (E) = B \ times D ^ {n}}$ ${\ Displaystyle S (E) = B \ times S ^ {n-1}}$ ${\ Displaystyle B _ {+}}$ ${\ Displaystyle T (E)}$ ${\ Displaystyle B _ {+}}$ ${\ Displaystyle S ^ {n}}$ ${\ Displaystyle B _ {+}}$

El significado de esta construcción comienza con el siguiente resultado, que pertenece al tema de la cohomología de haces de fibras . (Hemos expresado el resultado en términos de coeficientes para evitar complicaciones derivadas de la orientabilidad ; ver también Orientación de un paquete de vectores # espacio de Thom .) ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$

Sea un conjunto de vectores reales de rango n . Luego hay un isomorfismo, ahora llamado isomorfismo de Thom ${\ Displaystyle p: E \ to B}$