Problema de tres cuerpos

En física y mecánica clásica , el problema de los tres cuerpos es el problema de tomar las posiciones y velocidades iniciales (o momentos ) de tres masas puntuales y resolver su movimiento posterior de acuerdo con las leyes del movimiento de Newton y la ley de gravitación universal de Newton . ^[1] El problema de los tres cuerpos es un caso especial del problema de los n cuerpos . A diferencia de los problemas de dos cuerpos , no existe una solución general de forma cerrada , ^[1] ya que el sistema dinámico resultante es caótico para la mayoríaGeneralmente se requieren condiciones iniciales y métodos numéricos .

Históricamente, el primer problema específico de tres cuerpos que recibió un estudio extenso fue el que involucraba a la Luna , la Tierra y el Sol . ^[2] En un sentido moderno extendido, un problema de tres cuerpos es cualquier problema en mecánica clásica o mecánica cuántica que modela el movimiento de tres partículas.

El enunciado matemático del problema de los tres cuerpos se puede dar en términos de las ecuaciones newtonianas de movimiento para las posiciones vectoriales de tres cuerpos que interactúan gravitacionalmente con masas :${\ Displaystyle \ mathbf {r_ {i}} = (x_ {i}, y_ {i}, z_ {i})}$${\ Displaystyle m_ {i}}$

donde es la constante gravitacional . ^{[3] [4]} Este es un conjunto de nueve ecuaciones diferenciales de segundo orden . El problema también se puede plantear de manera equivalente en el formalismo hamiltoniano , en cuyo caso se describe mediante un conjunto de 18 ecuaciones diferenciales de primer orden, una para cada componente de las posiciones y momentos :${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ mathbf {r_ {i}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {p_ {i}}}$

donde está el hamiltoniano :${\ Displaystyle {\ mathcal {H}}}$

En este caso es simplemente la energía total del sistema, gravitacional más cinética.${\ Displaystyle {\ mathcal {H}}}$

Trayectorias aproximadas de tres cuerpos idénticos ubicados en los vértices de un triángulo escaleno y que tienen velocidades iniciales cero. Se ve que el centro de masa , de acuerdo con la ley de conservación de la cantidad de movimiento , permanece en su lugar.

El problema circular restringido de los tres cuerpos es una aproximación válida de las órbitas elípticas que se encuentran en el Sistema Solar , y esto se puede visualizar como una combinación de los potenciales debidos a la gravedad de los dos cuerpos primarios junto con el efecto centrífugo de su rotación ( Coriolis los efectos son dinámicos y no se muestran). Los puntos de Lagrange pueden verse como los cinco lugares donde el gradiente en la superficie resultante es cero (mostrados como líneas azules), lo que indica que las fuerzas están en equilibrio allí.

Una animación de la solución de la figura 8 al problema de los tres cuerpos durante un período único T ≃ 6.3259. ^[11]