En matemáticas , una ecuación de Thue es una ecuación diofántica de la forma
- ƒ ( x , y ) = r ,
donde f es una forma bivariada irreducible de grado al menos 3 sobre los números racionales, y r es un número racional distinto de cero . Lleva el nombre de Axel Thue que en 1909 demostró un teorema , que ahora se llama el teorema de Thue , que una ecuación Thue tiene un número finito de soluciones en números enteros x e y . [1]
La ecuación de Thue se puede resolver eficazmente : hay un límite explícito en las soluciones x , y de la formadonde las constantes C 1 y C 2 dependen solo de la forma ƒ . Un resultado más fuerte ejerce, que si K es el campo generado por las raíces de ƒ entonces la ecuación tiene sólo un número finito de soluciones con x y Y números enteros de K y otra vez éstas pueden ser determinadas de manera efectiva. [2]
Finitud de soluciones y aproximación diofántica
La prueba original de Thue de que la ecuación nombrada en su honor tiene un número finito de soluciones es a través de la prueba de lo que ahora se conoce como teorema de Thue : afirma que para cualquier número algebraico tener grado y para cualquier solo existe un número finito de enteros coprimos con tal que . La aplicación de este teorema permite deducir casi de inmediato la finitud de las soluciones. Sin embargo, la prueba de Thue, así como las posteriores mejoras de Siegel , Dyson y Roth, fueron ineficaces.
Resolver ecuaciones de Thue
Resolver una ecuación de Thue puede describirse como un algoritmo [3] listo para su implementación en software. En particular, se implementa en los siguientes sistemas de álgebra informática :
- en PARI / GP como funciones thueinit () y thue () .
- en el sistema de álgebra computacional Magma como funciones ThueObject () y ThueSolve () .
- en Mathematica a través de Reducir
Acotar el número de soluciones a las ecuaciones de Thue
Si bien existen varios métodos efectivos para resolver las ecuaciones de Thue (incluido el uso del método de Baker y el de Skolem-método ádico), estos no pueden dar los mejores límites teóricos sobre el número de soluciones. Se puede calificar un límite efectivo de la ecuación de Thue según los parámetros de los que depende y qué tan "buena" es la dependencia. Los mejores resultados conocidos hoy en día, esencialmente basados en el trabajo pionero de Bombieri y Schmidt , [4] dan un límite de la forma., dónde es una constante absoluta (es decir, independiente de ambos y ) y es el número de divisores primos distintos de . La mejora cualitativa más significativa del teorema de Bombieri y Schmidt se debe a Stewart , [5] quien obtuvo un límite de la forma dónde es un divisor de excesivo en valor absoluto. Se conjetura que uno puede tomar el salto; es decir, dependiendo solo del grado de pero no sus coeficientes, y completamente independiente del entero en el lado derecho de la ecuación. Ésta es una forma más débil de una conjetura de Stewart y es un caso especial de la conjetura de acotación uniforme para puntos racionales . Esta conjetura ha sido probada para enteros "pequeños", donde la pequeñez se mide en términos del discriminante de la forma, de varios autores, incluidos Evertse , Stewart y Akhtari . Stewart y Xiao demostraron una forma fuerte de esta conjetura, afirmando que el número de soluciones está absolutamente limitado, se mantiene en promedio (como rangos sobre el intervalo con ) [6]
Ver también
Referencias
- ↑ A. Thue (1909). "Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen" . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 1909 (135): 284-305. doi : 10.1515 / crll.1909.135.284 .
- ^ Baker, Alan (1975). Teoría de los números trascendentales . Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 38. ISBN 0-521-20461-5.
- ^ N. Tzanakis y BMM de Weger (1989). "Sobre la solución práctica de la ecuación de Thue" . Revista de teoría de números . 31 (2): 99-132. doi : 10.1016 / 0022-314X (89) 90014-0 .
- ^ E. Bombieri y WM Schmidt (1987). "En la ecuación de Thue" . Inventiones Mathematicae . 88 (2): 69–81. doi : 10.1007 / BF01405092 .
- ^ CL Stewart (1991). "Sobre el número de soluciones a congruencias polinómicas y ecuaciones de Thue" . Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense . 4 (4): 793–835. doi : 10.2307 / 2939289 .
- ^ CL Stewart y Stanley Yao Xiao (2019). "Sobre la representación de números enteros mediante formas binarias" . Mathematische Annalen . 375 (4): 133-163. doi : 10.1007 / s00208-019-01855-y .
Otras lecturas
- Baker, Alan ; Wüstholz, Gisbert (2007). Formas logarítmicas y geometría diofántica . Nuevas monografías matemáticas. 9 . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-88268-2.