En matemáticas , el teorema de Roth es un resultado fundamental en la aproximación diofántica a los números algebraicos . Es de tipo cualitativo, indicando que los números algebraicos no pueden tener muchas aproximaciones de números racionales que sean "muy buenas". Durante más de medio siglo, el significado de muy bueno aquí fue refinado por varios matemáticos, comenzando con Joseph Liouville en 1844 y continuando con el trabajo de Axel Thue ( 1909 ), Carl Ludwig Siegel ( 1921 ), Freeman Dyson ( 1947 ) y Klaus Roth (1955 ).
Declaración
El teorema de Roth establece que todo número algebraico irracionaltiene un exponente de aproximación igual a 2. Esto significa que, para cada, la desigualdad
solo puede tener un número finito de soluciones en números enteros primos y . La prueba de Roth de este hecho resolvió una conjetura de Siegel. De ello se deduce que todo número algebraico irracional α satisface
con un número positivo que depende solo de y .
Discusión
El primer resultado en esta dirección es el teorema de Liouville sobre aproximación de números algebraicos, que da un exponente de aproximación de d para un número algebraico α de grado d ≥ 2. Esto ya es suficiente para demostrar la existencia de números trascendentales . Thue se dio cuenta de que un exponente menor que d tendría aplicaciones para la solución de ecuaciones diofánticas y en el teorema de Thue de 1909 estableció un exponente. El teorema de Siegel mejora esto a un exponente de aproximadamente 2 √ d , y el teorema de Dyson de 1947 tiene un exponente de aproximadamente √ 2 d .
El resultado de Roth con exponente 2 es en cierto sentido el mejor posible, porque esta declaración fallaría al establecer : según el teorema de Dirichlet sobre la aproximación diofántica, hay infinitas soluciones en este caso. Sin embargo, hay una conjetura más fuerte de Serge Lang de que
puede tener sólo un número finito de soluciones en números enteros p y q . Si uno deja que α recorra todo el conjunto de números reales, no solo los reales algebraicos, entonces tanto la conclusión de Roth como la de Lang se mantienen para casi todos . De modo que tanto el teorema como la conjetura afirman que cierto conjunto contable pierde cierto conjunto de medida cero. [1]
El teorema no es efectivo actualmente : es decir, no hay límite conocido en los posibles valores de p , q dados. [2] Davenport y Roth (1955) demostraron que las técnicas de Roth podrían usarse para dar un límite efectivo para el número de p / q que satisface la desigualdad, usando un principio de "brecha". [2] El hecho de que no conozcamos C (ε) significa que el proyecto de resolver la ecuación, o delimitar el tamaño de las soluciones, está fuera de nuestro alcance.
Técnica de prueba
La técnica de demostración implica la construcción de un polinomio multivariado auxiliar en un número arbitrariamente grande de variables dependiendo de, lo que lleva a una contradicción en presencia de demasiadas buenas aproximaciones. Más específicamente, uno encuentra un cierto número de aproximaciones racionales al número algebraico irracional en cuestión, y luego aplica la función sobre cada uno de estos simultáneamente (es decir, cada uno de estos números racionales sirve como entrada a una variable única en la expresión que define nuestra función ). Por su naturaleza, fue ineficaz (ver resultados efectivos en la teoría de números ); esto es de particular interés ya que una aplicación principal de este tipo de resultado es acotar el número de soluciones de algunas ecuaciones diofánticas .
Generalizaciones
Existe una versión de dimensiones superiores, el teorema del subespacio de Schmidt , del resultado básico. También hay numerosas extensiones, por ejemplo, usando la métrica p-adic , [3] basada en el método Roth.
William J. LeVeque generalizó el resultado mostrando que un límite similar se cumple cuando los números aproximados se toman de un campo numérico algebraico fijo . Defina la altura H (ξ) de un número algebraico ξ como el máximo de los valores absolutos de los coeficientes de su polinomio mínimo . Fijar κ> 2. Para un número algebraico dado α y un campo numérico algebraico K , la ecuación
tiene sólo un número finito de soluciones en elementos xi de K . [4]
Ver también
Notas
- ↑ También está estrechamente relacionado con la conjetura de Manin-Mumford .
- ^ a b Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000). Geometría diofántica: una introducción . Textos de Posgrado en Matemáticas . 201 . págs. 344–345. ISBN 0-387-98981-1.
- ^ Ridout, D. (1958). "La generalización p -ádica del teorema de Thue-Siegel-Roth". Mathematika . 5 : 40–48. doi : 10.1112 / s0025579300001339 . Zbl 0085.03501 .
- ^ LeVeque, William J. (2002) [1956]. Temas de Teoría de Números, Volúmenes I y II . Nueva York: Publicaciones de Dover. págs. II: 148-152 . ISBN 978-0-486-42539-9. Zbl 1009.11001 .
Referencias
- Davenport, H .; Roth, Klaus Friedrich (1955), "Aproximaciones racionales a números algebraicos", Mathematika , 2 : 160–167, doi : 10.1112 / S0025579300000814 , ISSN 0025-5793 , MR 0077577 , Zbl 0066.29302
- Dyson, Freeman J. (1947), "La aproximación a números algebraicos por racionales", Acta Mathematica , 79 : 225-240, doi : 10.1007 / BF02404697 , ISSN 0001-5962 , MR 0023854 , Zbl 0030.02101
- Roth, Klaus Friedrich (1955), "Aproximaciones racionales a números algebraicos", Mathematika , 2 : 1–20, 168, doi : 10.1112 / S0025579300000644 , ISSN 0025-5793 , MR 0072182 , Zbl 0064.28501
- Wolfgang M. Schmidt (1996) [1980]. "Aproximación diofántica". Apuntes de clase en matemáticas . 785 . Saltador. doi : 10.1007 / 978-3-540-38645-2 . Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - Wolfgang M. Schmidt (1991). "Aproximaciones diofánticas y ecuaciones diofánticas". Apuntes de clase en matemáticas . 1467 . Springer-Verlag. doi : 10.1007 / BFb0098246 . Cite journal requiere
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( ayuda ) - Siegel, Carl Ludwig (1921), "Aproximación algebraischer Zahlen" (PDF) , Mathematische Zeitschrift , 10 (3): 173-213, doi : 10.1007 / BF01211608 , ISSN 0025-5874 , MR 1544471
- Thue, A. (1909), "Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen" , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 135 : 284–305, doi : 10.1515 / crll.1909.135.284 , ISSN 0075-4102
Otras lecturas
- Baker, Alan (1975). Teoría de los números trascendentales . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-20461-5. Zbl 0297.10013 .
- Baker, Alan ; Wüstholz, Gisbert (2007). Formas logarítmicas y geometría diofántica . Nuevas monografías matemáticas. 9 . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-88268-2. Zbl 1145.11004 .
- Bombieri, Enrico ; Gubler, Walter (2006). Alturas en geometría diofántica . Nuevas monografías matemáticas. 4 . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl 1130.11034 .
- Vojta, Paul (1987). Aproximaciones diofánticas y teoría de la distribución de valores . Apuntes de clase en matemáticas. 1239 . Springer-Verlag . ISBN 3-540-17551-2. Zbl 0609.14011 .