En matemáticas, en particular en teoría de la orden , un límite superior o mayorante [1] de un subconjunto S de algún conjunto preordenado ( K , ≤) es un elemento de K que es mayor que o igual a todos los elementos de S . [2] [3] Dually , un límite inferior o minorant de S se define para ser un elemento de K que es menor que o igual a todos los elementos de S . Un conjunto con un límite superior (respectivamente, inferior) se dice que esacotado desde arriba o mayorizado [1] (respectivamente acotado desde abajo o minorizado ) por ese límite. Los términos acotados arriba ( acotados abajo ) también se usan en la literatura matemática para conjuntos que tienen límites superiores (respectivamente inferiores). [4]
Ejemplos de
Por ejemplo, 5 es un límite inferior para el conjunto S = {5, 8, 42, 34, 13934} (como un subconjunto de los enteros o de los números reales , etc.), y también lo es 4 . Por otro lado, 6 no un inferior está unido por S , ya que no es menor que cada elemento en S .
El conjunto S = {42} tiene 42 como límite superior y límite inferior; todos los demás números son o bien un límite superior o un límite inferior para que S .
Cada subconjunto de números naturales tiene un límite inferior ya que los números naturales tienen un elemento mínimo (0 o 1, según la convención). Un subconjunto infinito de números naturales no se puede acotar desde arriba. Un subconjunto infinito de números enteros puede estar acotado desde abajo o acotado desde arriba, pero no ambos. Un subconjunto infinito de números racionales puede o no estar acotado desde abajo, y puede o no estar acotado desde arriba.
Cada subconjunto finito de un conjunto totalmente ordenado no vacío tiene límites superior e inferior.
Límites de funciones
Las definiciones se pueden generalizar a funciones e incluso a conjuntos de funciones.
Dada una función f con dominio D y un conjunto preordenado ( K , ≤) como codomain , un elemento y de K es un límite superior de f si y ≥ f ( x ) para cada x en D . El límite superior se llama agudo si la igualdad se mantiene para al menos un valor de x . Indica que la restricción es óptima y, por lo tanto, no se puede reducir más sin invalidar la desigualdad. [5]
Del mismo modo, la función g definida en el dominio D y que tienen el mismo codomain ( K , ≤) es una cota superior de f , si g ( x ) ≥ f ( x ) para cada x en D . Se dice además que la función g es un límite superior de un conjunto de funciones, si es un límite superior de cada función en ese conjunto.
La noción de límite inferior para (conjuntos de) funciones se define de manera análoga, reemplazando ≥ por ≤.
Límites estrechos
An es límite superior dice que es un apretado límite superior , un extremo superior , o un extremo superior , si no hay valor más pequeño es un límite superior. Del mismo modo, según un límite inferior es ser un apretado límite inferior , un extremo inferior , o un infimum , si no hay valor mayor es una cota inferior.
Ver también
Referencias
- ↑ a b Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 . Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. pag. 3. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- ^ Mac Lane, Saunders ; Birkhoff, Garrett (1991). Álgebra . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . pag. 145 . ISBN 0-8218-1646-2.
- ^ "Definición de límite superior (diccionario ilustrado de matemáticas)" . www.mathsisfun.com . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Límite superior" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
- ^ "El glosario definitivo de jerga matemática superior - Sharp" . Bóveda de matemáticas . 2019-08-01 . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .