La ecuación de Schrödinger es una ecuación diferencial parcial lineal que gobierna la función de onda de un sistema mecánico cuántico. [1] : 1–2 Es un resultado clave en la mecánica cuántica , y su descubrimiento fue un hito significativo en el desarrollo del tema. La ecuación lleva el nombre de Erwin Schrödinger , quien postuló la ecuación en 1925 y la publicó en 1926, formando la base del trabajo que resultó en su Premio Nobel de Física en 1933. [2] [3]
Conceptualmente, la ecuación de Schrödinger es la contraparte cuántica de la segunda ley de Newton en la mecánica clásica . Dado un conjunto de condiciones iniciales conocidas, la segunda ley de Newton hace una predicción matemática sobre qué camino tomará un sistema físico dado a lo largo del tiempo. La ecuación de Schrödinger da la evolución en el tiempo de una función de onda , la caracterización mecánica cuántica de un sistema físico aislado. La ecuación se puede derivar del hecho de que el operador de evolución en el tiempo debe ser unitario y, por lo tanto, debe ser generado por el exponencial de un operador autoadjunto , que es el hamiltoniano cuántico .
La ecuación de Schrödinger no es la única forma de estudiar sistemas mecánicos cuánticos y hacer predicciones. Las otras formulaciones de la mecánica cuántica incluyen la mecánica matricial , introducida por Werner Heisenberg , y la formulación integral de trayectoria , desarrollada principalmente por Richard Feynman . Paul Dirac incorporó la mecánica matricial y la ecuación de Schrödinger en una sola formulación. Cuando se comparan estos enfoques, el uso de la ecuación de Schrödinger a veces se denomina "mecánica ondulatoria".
Definición
Preliminares
Los cursos de introducción a la física o la química suelen presentar la ecuación de Schrödinger de una manera que se puede apreciar conociendo solo los conceptos y notaciones del cálculo básico , en particular las derivadas con respecto al espacio y el tiempo. Un caso especial de la ecuación de Schrödinger que admite un enunciado en esos términos es la ecuación de Schrödinger en el espacio de posición para una sola partícula no relativista en una dimensión:
Aquí, es una función de onda, una función que asigna un número complejo a cada punto en cada momento . El parámetro es la masa de la partícula, y es el potencial que representa el entorno en el que existe la partícula. El constantees la unidad imaginaria , yes la constante de Planck reducida , que tiene unidades de acción (energía multiplicada por tiempo).
Más allá de este simple caso, la formulación matemáticamente rigurosa de la mecánica cuántica desarrollada por Paul Dirac , [4] David Hilbert , [5] John von Neumann , [6] y Hermann Weyl [7] define el estado de un sistema mecánico cuántico como un vectorperteneciente a un espacio de Hilbert ( separable ) . Se postula que este vector está normalizado bajo el producto interior del espacio de Hilbert, es decir, en la notación de Dirac obedece. La naturaleza exacta de este espacio de Hilbert es dependiente del sistema - por ejemplo, para posición y el momento que describe el espacio de Hilbert es el espacio de complejos cuadrados-integrable funciones, mientras que el espacio de Hilbert para el espín de un solo protón es simplemente el espacio de vectores complejos bidimensionales con el producto interior habitual.
Las cantidades físicas de interés - posición, momento, energía, espín - están representadas por "observables", que son operadores lineales hermitianos (más precisamente, autoadjuntos ) que actúan sobre el espacio de Hilbert. Una función de onda puede ser un vector propio de un observable, en cuyo caso se le llama un estado propio , y el valor propio asociado corresponde al valor del observable en ese estado propio. De manera más general, un estado cuántico será una combinación lineal de los estados propios, conocida como superposición cuántica . Cuando se mide un observable, el resultado será uno de sus valores propios con probabilidad dada por la regla de Born : en el caso más simple, el valor propio es no degenerado y la probabilidad viene dada por , dónde es su vector propio asociado. De manera más general, el valor propio es degenerado y la probabilidad viene dada por, dónde es el proyector en su espacio propio asociado. [nota 1]
Un estado propio de impulso sería una onda perfectamente monocromática de extensión infinita, que no es integrable al cuadrado. Del mismo modo, un estado propio de posición sería una distribución delta de Dirac , no integrable al cuadrado y técnicamente no es una función en absoluto. En consecuencia, ninguno puede pertenecer al espacio de Hilbert de la partícula. Los físicos a veces introducen "bases" ficticias para un espacio de Hilbert que comprende elementos fuera de ese espacio. Estos se inventan por conveniencia de cálculo y no representan estados físicos. [8] : 100–105
Ecuación dependiente del tiempo
La forma de la ecuación de Schrödinger depende de la situación física. La forma más general es la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, que da una descripción de un sistema que evoluciona con el tiempo: [9] : 143
dónde (la letra griega psi ) es el vector de estado del sistema cuántico, es el momento, y es un observable, el operador hamiltoniano .
El término "ecuación de Schrödinger" puede referirse tanto a la ecuación general como a la versión no relativista específica. La ecuación general es de hecho bastante general, utilizada en toda la mecánica cuántica, para todo, desde la ecuación de Dirac hasta la teoría cuántica de campos , al conectar diversas expresiones para el hamiltoniano. La versión no relativista específica es una aproximación que produce resultados precisos en muchas situaciones, pero solo hasta cierto punto (ver mecánica cuántica relativista y teoría de campo cuántica relativista ).
Para aplicar la ecuación de Schrödinger, escriba el hamiltoniano del sistema, teniendo en cuenta las energías cinética y potencial de las partículas que constituyen el sistema, luego insértelo en la ecuación de Schrödinger. La ecuación diferencial parcial resultante se resuelve para la función de onda, que contiene información sobre el sistema. En la práctica, el cuadrado del valor absoluto de la función de onda en cada punto se toma para definir una función de densidad de probabilidad . Por ejemplo, dada una función de onda en el espacio de posición como arriba, tenemos
Ecuación independiente del tiempo
La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo descrita anteriormente predice que las funciones de onda pueden formar ondas estacionarias , llamadas estados estacionarios . Estos estados son particularmente importantes ya que su estudio individual posteriormente simplifica la tarea de resolver la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo para cualquier estado. Los estados estacionarios también se pueden describir mediante una forma más simple de la ecuación de Schrödinger, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.
dónde es la energía del sistema. Esto solo se usa cuando el hamiltoniano en sí no depende explícitamente del tiempo. Sin embargo, incluso en este caso, la función de onda total sigue dependiendo del tiempo. En el lenguaje del álgebra lineal , esta ecuación es una ecuación de valor propio . Por lo tanto, la función de onda es una función propia del operador hamiltoniano con los valores propios correspondientes.
Propiedades
Linealidad
La ecuación de Schrödinger es una ecuación diferencial lineal , lo que significa que si dos funciones de onda ψ 1 y ψ 2 son soluciones, entonces también lo es cualquier combinación lineal de las dos:
donde un y b son números complejos. [10] : 25 Además, la suma se puede ampliar para cualquier número de funciones de onda. Esta propiedad permite que las superposiciones de estados cuánticos sean soluciones de la ecuación de Schrödinger. Incluso de manera más general, sostiene que se puede encontrar una solución general a la ecuación de Schrödinger tomando una suma ponderada sobre una base de estados. Una opción que se emplea a menudo es la base de los estados propios de energía, que son soluciones de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Por ejemplo, considere una función de onda Ψ ( x , t ) tal que la función de onda es un producto de dos funciones: una independiente del tiempo y otra dependiente del tiempo. Si los estados de energía definida encontrados usando la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo están dados por ψ E ( x ) con amplitud A n y el factor de fase dependiente del tiempo está dado por
entonces una solución general válida es
Unitaridad
Sosteniendo el hamiltoniano constante, la ecuación de Schrödinger tiene la solución
El operador se conoce como el operador de evolución temporal y es unitario : conserva el producto interno entre los vectores en el espacio de Hilbert. [10] La unitaridad es una característica general de la evolución temporal según la ecuación de Schrödinger. Si el estado inicial es, luego el estado en un momento posterior será dado por
para algun operador unitario . Asimismo, suponga que es una familia continua de operadores unitarios parametrizados por . Sin pérdida de generalidad , [11] la parametrización puede elegirse de modo que es el operador de identidad y que para cualquier . Luego depende exponencialmente del parámetro , Insinuando
para algunos operadores autoadjuntos , llamado el generador de la familia. Un hamiltoniano es un generador de este tipo (hasta el factor de la constante de Planck que se establecería en 1 en unidades naturales ).
Cambios de base
La ecuación de Schrödinger a menudo se presenta usando cantidades que varían como funciones de posición, pero como una ecuación de vector-operador tiene una representación válida en cualquier base completa arbitraria de kets en el espacio de Hilbert . Como se mencionó anteriormente, las "bases" que se encuentran fuera del espacio físico de Hilbert también se emplean con fines de cálculo. Esto se ilustra por la posición en el espacio y el impulso en el espacio ecuaciones de Schrödinger para una partícula no relativista, spinless. [8] : 182 El espacio de Hilbert para tal partícula es el espacio de funciones cuadráticas complejas integrables en el espacio euclidiano tridimensional, y su hamiltoniano es la suma de un término de energía cinética que es cuadrático en el operador de momento y un potencial -término energético:
Escritura para un vector de posición tridimensional y para un vector de momento tridimensional, la ecuación de Schrödinger en el espacio de posición es
La contraparte del espacio-momento involucra las transformadas de Fourier de la función de onda y el potencial:
Las funciones y se derivan de por
dónde y no pertenecen al propio espacio de Hilbert, pero tienen productos internos bien definidos con todos los elementos de ese espacio.
Cuando se restringe de tres dimensiones a una, la ecuación de espacio de posición es solo la primera forma de la ecuación de Schrödinger dada anteriormente . La relación entre la posición y el momento en la mecánica cuántica se puede apreciar en una sola dimensión. En la cuantificación canónica , las variables clásicas y se promueven a operadores autoadjuntos y que satisfacen la relación canónica de conmutación
Esto implica que [8] : 190
por lo que la acción del operador de impulso en la representación del espacio de posición es . Por lo tanto,se convierte en una segunda derivada , y en tres dimensiones, la segunda derivada se convierte en la laplaciana .
La relación de conmutación canónica también implica que los operadores de posición y momento son conjugados de Fourier entre sí. En consecuencia, las funciones originalmente definidas en términos de su dependencia de posición se pueden convertir en funciones de impulso utilizando la transformada de Fourier. En física del estado sólido , la ecuación de Schrödinger a menudo se escribe para funciones de impulso, ya que el teorema de Bloch asegura las parejas de potenciales de la red cristalina periódica con solo para vectores de celosía recíprocos discretos. Esto hace que sea conveniente resolver la ecuación de Schrödinger del momento-espacio en cada punto de la zona de Brillouin independientemente de los otros puntos de la zona de Brillouin.
Corriente de probabilidad
La ecuación de Schrödinger es consistente con la conservación de la probabilidad local . [8] : 238 Al multiplicar la ecuación de Schrödinger de la derecha por la función de onda compleja conjugada, y multiplicar la función de onda a la izquierda de la conjugada compleja de la ecuación de Schrödinger y restar, se obtiene la ecuación de continuidad para la probabilidad:
dónde
es la densidad de probabilidad (probabilidad por unidad de volumen, * denota conjugado complejo ), y
es la corriente de probabilidad (flujo por unidad de área).
Separación de variables
Si el hamiltoniano no es una función explícita del tiempo, la ecuación es separable en un producto de partes espaciales y temporales. En general, la función de onda toma la forma:
dónde es una función de todas las coordenadas espaciales de la (s) partícula (s) que constituyen el sistema únicamente, y es una función del tiempo solamente. Sustituyendo esta expresión poren la ecuación de Schrödinger y resolver por separación de variables implica que la solución general de la ecuación dependiente del tiempo tiene la forma
Dado que el factor de fase dependiente del tiempo es siempre el mismo, solo es necesario resolver la parte espacial en problemas independientes del tiempo. Además, el operador energético Ĥ = iħ∂/∂ tsiempre se puede reemplazar por el valor propio de energía E , por lo que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es una ecuación de valor propio para el operador hamiltoniano: [9] : 143ff
Esto es cierto para cualquier número de partículas en cualquier número de dimensiones (en un potencial independiente del tiempo). Este caso describe las soluciones de onda estacionaria de la ecuación dependiente del tiempo, que son los estados con energía definida (en lugar de una distribución de probabilidad de diferentes energías). En física, estas ondas estacionarias se denominan " estados estacionarios " o " estados propios de energía "; en química se les llama " orbitales atómicos " u " orbitales moleculares ". Las superposiciones de estados propios de energía cambian sus propiedades de acuerdo con las fases relativas entre los niveles de energía. Los estados propios de energía forman una base: cualquier función de onda puede escribirse como una suma sobre los estados de energía discretos o como una integral sobre estados de energía continuos, o más generalmente como una integral sobre una medida. Este es el teorema espectral en matemáticas, y en un espacio de estados finito es solo una declaración de la integridad de los vectores propios de una matriz hermitiana .
La separación de variables también puede ser un método útil para la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Por ejemplo, dependiendo de la simetría del problema, los ejes cartesianos pueden estar separados,
o las coordenadas radiales y angulares pueden estar separadas:
Ejemplos de
Partícula en una caja
La partícula en una caja de energía potencial unidimensional es el ejemplo matemáticamente más simple donde las restricciones conducen a la cuantificación de los niveles de energía. La caja se define por tener energía potencial cero dentro de una determinada región y energía potencial infinita en el exterior . [8] : 77–78 Para el caso unidimensional en el dirección, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se puede escribir
Con el operador diferencial definido por
la ecuación anterior evoca el análogo clásico de energía cinética ,
con el estado en este caso tener energía coincidente con la energía cinética de la partícula.
Las soluciones generales de la ecuación de Schrödinger para la partícula en una caja son
o, de la fórmula de Euler ,
Las infinitas paredes potenciales de la caja determinan los valores de y a y dónde debe ser cero. Por lo tanto, en,
y . A,
en el cual no puede ser cero, ya que esto entraría en conflicto con el postulado de que tiene la norma 1. Por lo tanto, dado que , debe ser un múltiplo entero de ,
Esta restricción en implica una restricción en los niveles de energía, lo que produce
Un pozo de potencial finito es la generalización del problema del pozo de potencial infinito a los pozos potenciales que tienen una profundidad finita. El problema del pozo de potencial finito es matemáticamente más complicado que el problema de las partículas infinitas en una caja, ya que la función de onda no está fijada a cero en las paredes del pozo. En cambio, la función de onda debe satisfacer condiciones de contorno matemáticas más complicadas, ya que es distinta de cero en las regiones fuera del pozo. Otro problema relacionado es el de la barrera de potencial rectangular , que proporciona un modelo para el efecto de túnel cuántico que juega un papel importante en el desempeño de tecnologías modernas como la memoria flash y la microscopía de túnel de barrido .
Oscilador armónico
La ecuación de Schrödinger para esta situación es
dónde es el desplazamiento y la frecuencia angular. Este es un ejemplo de un sistema mecánico-cuántico cuya función de onda se puede resolver con exactitud. Además, puede ser usado para describir aproximadamente una amplia variedad de otros sistemas, incluyendo átomos vibrantes, moléculas , [12] y los átomos o iones en celosías, [13] y la aproximación de otros potenciales cerca de los puntos de equilibrio. También es la base de los métodos de perturbación en mecánica cuántica.
Las soluciones en el espacio de posición son
dónde , y las funciones son los polinomios de Hermite de orden. El conjunto de soluciones puede ser generado por
Los valores propios son
El caso se llama estado fundamental , su energía se llama energía de punto cero y la función de onda es gaussiana . [14]
El oscilador armónico, como la partícula en una caja, ilustra la característica genérica de la ecuación de Schrödinger de que las energías de los autoestados ligados están discretizadas. [8] : 352
Átomo de hidrógeno
La ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrógeno (o un átomo similar al hidrógeno) es
dónde es la carga de electrones, es la posición del electrón con respecto al núcleo, es la magnitud de la posición relativa, el término potencial se debe a la interacción de Coulomb , dondees la permitividad del espacio libre y
es la masa reducida de 2 cuerpos del núcleo de hidrógeno (solo un protón ) de masa y el electrón de masa . El signo negativo surge en el término potencial ya que el protón y el electrón tienen carga opuesta. Se utiliza la masa reducida en lugar de la masa del electrón, ya que el electrón y el protón se orbitan juntos alrededor de un centro de masa común y constituyen un problema de dos cuerpos para resolver. El movimiento del electrón es de interés principal aquí, por lo que el problema de un cuerpo equivalente es el movimiento del electrón usando la masa reducida.
La ecuación de Schrödinger para un átomo de hidrógeno se puede resolver mediante la separación de variables. [15] En este caso, las coordenadas polares esféricas son las más convenientes. Por lo tanto,
donde R son funciones radiales yson armónicos esféricos de grado y el orden . Este es el único átomo para el que se ha resuelto exactamente la ecuación de Schrödinger. Los átomos de varios electrones requieren métodos aproximados. La familia de soluciones son: [16]
dónde:
- es el radio de Bohr ,
- son los polinomios de Laguerre generalizados de grado.
- son los números cuánticos principal , azimutal y magnético , respectivamente, que toman los valores:
Soluciones aproximadas
Por lo general, no es posible resolver la ecuación de Schrödinger exactamente para situaciones de interés físico. En consecuencia, las soluciones aproximadas se obtienen utilizando técnicas como métodos variacionales y aproximación WKB . También es común tratar un problema de interés como una pequeña modificación de un problema que se puede resolver con exactitud, un método conocido como teoría de la perturbación .
Límite semiclásico
Una forma sencilla de comparar la mecánica clásica con la cuántica es considerar la evolución en el tiempo de la posición esperada y el momento esperado , que luego se puede comparar con la evolución en el tiempo de la posición y el momento ordinarios en la mecánica clásica. [17] : 302 Los valores cuánticos esperados satisfacen el teorema de Ehrenfest . Para una partícula cuántica unidimensional que se mueve en un potencial, el teorema de Ehrenfest dice
Aunque la primera de estas ecuaciones es consistente con el comportamiento clásico, la segunda no lo es: si el par si cumpliera la segunda ley de Newton, el lado derecho de la segunda ecuación tendría que ser
que normalmente no es lo mismo que . En el caso del oscilador armónico cuántico, sin embargo, es lineal y esta distinción desaparece, de modo que en este caso muy especial, la posición esperada y el momento esperado siguen exactamente las trayectorias clásicas.
Para los sistemas generales, lo mejor que podemos esperar es que la posición y el impulso esperados sigan aproximadamente las trayectorias clásicas. Si la función de onda está muy concentrada alrededor de un punto, luego y será casi igual, ya que ambos serán aproximadamente iguales a. En ese caso, la posición esperada y el impulso esperado permanecerán muy cerca de las trayectorias clásicas, al menos mientras la función de onda permanezca altamente localizada en la posición.
La ecuación de Schrödinger en su forma general
está estrechamente relacionado con la ecuación de Hamilton-Jacobi (HJE)
dónde es la acción clásica yes la función hamiltoniana (no operador). [17] : 308 Aquí las coordenadas generalizadas por (utilizado en el contexto del HJE) se puede establecer en la posición en coordenadas cartesianas como .
Sustituyendo
dónde es la densidad de probabilidad, en la ecuación de Schrödinger y luego tomando el límite en la ecuación resultante se obtiene la ecuación de Hamilton-Jacobi .
Matrices de densidad
Las funciones de onda no siempre son la forma más conveniente de describir los sistemas cuánticos y su comportamiento. Cuando la preparación de un sistema solo se conoce de manera imperfecta, o cuando el sistema bajo investigación es parte de un todo mayor, se pueden usar matrices de densidad en su lugar. [17] : 74 Una matriz de densidad es un operador semi-definido positivo cuya traza es igual a 1. (El término "operador de densidad" también se usa, particularmente cuando el espacio de Hilbert subyacente es de dimensión infinita). matrices es convexa y los puntos extremos son los operadores que se proyectan sobre los vectores en el espacio de Hilbert. Estas son las representaciones matriciales de densidad de las funciones de onda; en notación de Dirac, están escritos
El análogo de matriz de densidad de la ecuación de Schrödinger para funciones de onda es [18] [19]
donde los corchetes denotan un conmutador . Esto se conoce como ecuación de von Neumann, ecuación de Liouville-von Neumann o simplemente ecuación de Schrödinger para matrices de densidad. [17] : 312 Si el hamiltoniano es independiente del tiempo, esta ecuación se puede resolver fácilmente para producir
De manera más general, si el operador unitario describe la evolución de la función de onda en algún intervalo de tiempo, entonces la evolución en el tiempo de una matriz de densidad en ese mismo intervalo viene dada por
La evolución unitaria de una matriz de densidad conserva su entropía de von Neumann . [17] : 267
Física cuántica relativista y teoría cuántica de campos
La teoría cuántica de campos (QFT) es un marco que permite la combinación de la mecánica cuántica con la relatividad especial . La forma general de la ecuación de Schrödinger también es válida en QFT, tanto en situaciones relativistas como no relativistas.
Ecuaciones de Klein-Gordon y Dirac
La mecánica cuántica relativista se obtiene donde se aplican simultáneamente la mecánica cuántica y la relatividad especial. En general, se desea construir ecuaciones de onda relativistas a partir de la relación relativista energía-momento.
en lugar de ecuaciones energéticas clásicas. La ecuación de Klein-Gordon y la ecuación de Dirac son dos de esas ecuaciones. La ecuación de Klein-Gordon,
- ,
fue la primera ecuación de este tipo que se obtuvo, incluso antes que la no relativista, y se aplica a partículas masivas sin espinas. La ecuación de Dirac surgió de tomar la "raíz cuadrada" de la ecuación de Klein-Gordon al factorizar todo el operador de onda relativista en un producto de dos operadores; uno de ellos es el operador de toda la ecuación de Dirac. Ecuación de Dirac completa:
La forma general de la ecuación de Schrödinger sigue siendo cierta en la relatividad, pero la hamiltoniana es menos obvia. Por ejemplo, el Hamiltoniano de Dirac para una partícula de masa my carga eléctrica q en un campo electromagnético (descrito por los potenciales electromagnéticos φ y A ) es:
en el que γ = ( γ 1 , γ 2 , γ 3 ) y γ 0 son las matrices gamma de Dirac relacionadas con el giro de la partícula. La ecuación de Dirac es cierto para todos los spin- 1 / 2 partículas, y las soluciones de la ecuación son 4-componente campos espinoriales con dos componentes correspondientes a la partícula y los otros dos para la antipartícula .
Para la ecuación de Klein-Gordon, la forma general de la ecuación de Schrödinger es incómoda de usar y, en la práctica, el hamiltoniano no se expresa de forma análoga al hamiltoniano de Dirac. Las ecuaciones para campos cuánticos relativistas se pueden obtener de otras formas, como partiendo de una densidad lagrangiana y utilizando las ecuaciones de Euler-Lagrange para campos, o utilizando la teoría de representación del grupo de Lorentz en la que determinadas representaciones se pueden utilizar para fijar la ecuación. para una partícula libre de giro (y masa) dados.
En general, el hamiltoniano que se sustituirá en la ecuación general de Schrödinger no es solo una función de los operadores de posición y momento (y posiblemente el tiempo), sino también de las matrices de espín. Además, las soluciones a una ecuación de onda relativista, para una partícula masiva de espín s , son campos de espino de 2 (2 s + 1) componentes de valor complejo .
Espacio fock
Como se formuló originalmente, la ecuación de Dirac es una ecuación para una sola partícula cuántica, al igual que la ecuación de Schrödinger de una sola partícula con función de onda . Esto es de uso limitado en la mecánica cuántica relativista, donde el número de partículas no es fijo. Heurísticamente, esta complicación puede estar motivada al señalar que la equivalencia masa-energía implica que se pueden crear partículas materiales a partir de energía. Una forma común de abordar esto en QFT es introducir un espacio de Hilbert donde los estados base están etiquetados por el número de partículas, un espacio llamado Fock . La ecuación de Schrödinger se puede formular para estados cuánticos en este espacio de Hilbert. [20]
Historia
Tras la cuantificación de la luz de Max Planck (ver radiación de cuerpo negro ), Albert Einstein interpretó que los cuantos de Planck eran fotones , partículas de luz , y propuso que la energía de un fotón es proporcional a su frecuencia , uno de los primeros signos de onda. –Dualidad de partículas . Dado que la energía y la cantidad de movimiento están relacionados de la misma manera que la frecuencia y el número de onda en la relatividad especial , se siguió que la cantidad de movimientode un fotón es inversamente proporcional a su longitud de onda , o proporcional a su número de onda :
dónde es la constante de Planck yes la constante de Planck reducida. Louis de Broglie planteó la hipótesis de que esto es cierto para todas las partículas, incluso las partículas que tienen masa como los electrones. Mostró que, asumiendo que las ondas de materia se propagan junto con sus contrapartes de partículas, los electrones forman ondas estacionarias , lo que significa que solo se permiten ciertas frecuencias de rotación discretas alrededor del núcleo de un átomo. [21] Estas órbitas cuantificadas corresponden a niveles de energía discretos , y De Broglie reprodujo la fórmula del modelo de Bohr para los niveles de energía. El modelo de Bohr se basó en la cuantificación asumida del momento angular de acuerdo a:
Según de Broglie, el electrón se describe mediante una onda y un número entero de longitudes de onda deben caber a lo largo de la circunferencia de la órbita del electrón:
Este enfoque esencialmente confinó la onda de electrones en una dimensión, a lo largo de una órbita circular de radio .
En 1921, antes de De Broglie, Arthur C. Lunn de la Universidad de Chicago había usado el mismo argumento basado en la finalización del 4-vector relativista energía-momento para derivar lo que ahora llamamos la relación de Broglie. [22] [23] A diferencia de de Broglie, Lunn pasó a formular la ecuación diferencial ahora conocida como ecuación de Schrödinger, y resolvió sus valores propios de energía para el átomo de hidrógeno. Desafortunadamente, el artículo fue rechazado por Physical Review , según relata Kamen. [24]
Siguiendo las ideas de De Broglie, el físico Peter Debye hizo un comentario informal de que si las partículas se comportaban como ondas, deberían satisfacer algún tipo de ecuación de onda. Inspirado por el comentario de Debye, Schrödinger decidió encontrar una ecuación de onda tridimensional adecuada para el electrón. Se guió por la analogía de William Rowan Hamilton entre la mecánica y la óptica , codificada en la observación de que el límite de longitud de onda cero de la óptica se asemeja a un sistema mecánico: las trayectorias de los rayos de luz se convierten en pistas nítidas que obedecen al principio de Fermat , un análogo del principio. de mínima acción . [25]
La ecuación que encontró es: [26]
Sin embargo, en ese momento, Arnold Sommerfeld había refinado el modelo de Bohr con correcciones relativistas . [27] [28] Schrödinger usó la relación relativista energía-momento para encontrar lo que ahora se conoce como la ecuación de Klein-Gordon en un potencial de Coulomb (en unidades naturales ):
Encontró las ondas estacionarias de esta ecuación relativista, pero las correcciones relativistas no estaban de acuerdo con la fórmula de Sommerfeld. Desanimado, guardó sus cálculos y se encerró con una amante en una cabaña de montaña en diciembre de 1925 [29].
Mientras estaba en la cabaña, Schrödinger decidió que sus cálculos no relativistas anteriores eran lo suficientemente novedosos como para publicarlos, y decidió dejar de lado el problema de las correcciones relativistas para el futuro. A pesar de las dificultades para resolver la ecuación diferencial del hidrógeno (había buscado la ayuda de su amigo el matemático Hermann Weyl [30] : 3 ), Schrödinger demostró que su versión no relativista de la ecuación de onda producía las energías espectrales correctas del hidrógeno en un artículo publicado en 1926. [30] : 1 [31] Schrödinger calculó la serie espectral de hidrógeno tratando el electrón de un átomo de hidrógeno como una onda, moviéndose en un pozo potencial , creado por el protón . Este cálculo reprodujo con precisión los niveles de energía del modelo de Bohr . En un artículo, el propio Schrödinger explicó esta ecuación de la siguiente manera:
La ya ... mencionada función psi ... es ahora el medio para predecir la probabilidad de los resultados de la medición. En él se materializa la suma momentáneamente alcanzada de expectativas futuras basadas en la teoría, algo como se establece en un catálogo.
- Erwin Schrödinger [32]
La ecuación de Schrödinger detalla el comportamiento de pero no dice nada de su naturaleza . Schrödinger intentó interpretar su módulo al cuadrado como una densidad de carga en un cuarto artículo, pero no tuvo éxito. [33] : 219 En 1926, pocos días después de la publicación de este artículo, Max Born interpretó con éxitocomo la amplitud de probabilidad , cuyo módulo al cuadrado es igual a la densidad de probabilidad . [33] : 220
Interpretación
La ecuación de Schrödinger proporciona una forma de calcular la función de onda de un sistema y cómo cambia dinámicamente en el tiempo. Sin embargo, la ecuación de Schrödinger no dice directamente qué es exactamente la función de onda. El significado de la ecuación de Schrödinger y cómo las entidades matemáticas en ella se relacionan con la realidad física depende de la interpretación de la mecánica cuántica que uno adopte.
En las opiniones que a menudo se agrupan como la interpretación de Copenhague , la función de onda de un sistema es una recopilación de información estadística sobre ese sistema. La ecuación de Schrödinger relaciona información sobre el sistema en un momento con información sobre él en otro. Si bien el proceso de evolución temporal representado por la ecuación de Schrödinger es continuo y determinista, ya que conocer la función de onda en un instante es, en principio, suficiente para calcularla para todos los tiempos futuros, las funciones de onda también pueden cambiar de manera discontinua y estocástica durante una medición . La función de onda cambia, según esta escuela de pensamiento, porque hay nueva información disponible. La función de onda posterior a la medición generalmente no se puede conocer antes de la medición, pero las probabilidades para las diferentes posibilidades se pueden calcular utilizando la regla de Born . [17] [34] [nota 2] Otras interpretaciones más recientes de la mecánica cuántica, como la mecánica cuántica relacional y el QBismo, también le dan a la ecuación de Schrödinger un estatus de este tipo. [37] [38]
El propio Schrödinger sugirió en 1952 que los diferentes términos de una superposición que evoluciona bajo la ecuación de Schrödinger "no son alternativas, pero en realidad todos ocurren simultáneamente". Esto se ha interpretado como una versión temprana de la interpretación de los muchos mundos de Everett . [39] [40] Esta interpretación, formulada independientemente en 1956, sostiene que todas las posibilidades descritas por la teoría cuántica ocurren simultáneamente en un multiverso compuesto de universos paralelos en su mayoría independientes. [41] Esta interpretación elimina el axioma del colapso de la función de onda, dejando solo una evolución continua bajo la ecuación de Schrödinger, por lo que todos los estados posibles del sistema medido y el aparato de medición, junto con el observador, están presentes en una superposición cuántica física real . Si bien el multiverso es determinista, percibimos un comportamiento no determinista gobernado por probabilidades, porque no observamos el multiverso como un todo, sino solo un universo paralelo a la vez. Exactamente cómo se supone que funciona esto ha sido objeto de mucho debate. ¿Por qué deberíamos asignar probabilidades a los resultados que con certeza ocurrirán en algunos mundos, y por qué las probabilidades deberían estar dadas por la regla de Born? [42] Se han propuesto varias formas de responder a estas preguntas en el marco de muchos mundos, pero no hay consenso sobre si tienen éxito. [43] [44] [45]
La mecánica de Bohm reformula la mecánica cuántica para hacerla determinista, al precio de hacerla explícitamente no local (un precio exigido por el teorema de Bell ). Atribuye a cada sistema físico no solo una función de onda, sino además una posición real que evoluciona de manera determinista bajo una ecuación guía no local. La evolución de un sistema físico viene dada en todo momento por la ecuación de Schrödinger junto con la ecuación guía. [46]
Ver también
- Constante de Planck
- Ecuación de Eckhaus
- Ecuación de Fokker-Planck
- Ecuación fraccional de Schrödinger
- Lista de sistemas de mecánica cuántica con soluciones analíticas
- Lista de cosas que llevan el nombre de Erwin Schrödinger
- Ecuación logarítmica de Schrödinger
- Ecuación de Schrödinger no lineal
- Canal cuántico
- Relación entre la ecuación de Schrödinger y la fórmula integral de trayectoria de la mecánica cuántica
- Cuadro de Schrödinger
- Distribución de cuasiprobabilidad de Wigner
Notas
- ^ Esta regla para obtener probabilidades de un vector de estado implica que los vectores que solo difieren en una fase general son físicamente equivalentes; y representan los mismos estados cuánticos. En otras palabras, los estados posibles son puntos en el espacio proyectivo de un espacio de Hilbert, generalmente llamado espacio proyectivo complejo .
- ↑ Una dificultad al discutir la posición filosófica de "la interpretación de Copenhague" es que no existe una fuente única y autorizada que establezca cuál es la interpretación. Otra complicación es que el trasfondo filosófico familiar para Einstein, Bohr, Heisenberg y sus contemporáneos lo es mucho menos para los físicos e incluso los filósofos de la física en tiempos más recientes. [35] [36]
Referencias
- ^ Griffiths, David J. (2004). Introducción a la Mecánica Cuántica (2ª ed.) . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-111892-8.
- ^ "El doodle de Google del físico Erwin Schrödinger marca el trabajo de la mecánica cuántica" . The Guardian . 13 de agosto de 2013 . Consultado el 25 de agosto de 2013 .
- ^ Schrödinger, E. (1926). "Una teoría ondulante de la mecánica de átomos y moléculas" (PDF) . Revisión física . 28 (6): 1049–1070. Código Bibliográfico : 1926PhRv ... 28.1049S . doi : 10.1103 / PhysRev.28.1049 . Archivado desde el original (PDF) el 17 de diciembre de 2008.
- ^ Dirac, Paul Adrien Maurice (1930). Los principios de la mecánica cuántica . Oxford: Clarendon Press.
- ^ Hilbert, David (2009). Sauer, Tilman; Majer, Ulrich (eds.). Conferencias sobre los fundamentos de la física 1915-1927: relatividad, teoría cuántica y epistemología . Saltador. doi : 10.1007 / b12915 . ISBN 978-3-540-20606-4. OCLC 463777694 .
- ^ von Neumann, John (1932). Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik . Berlín: Springer. Traducción en inglés: Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica . Traducido por Beyer, Robert T. Princeton University Press. 1955.
- ^ Weyl, Hermann (1950) [1931]. Teoría de Grupos y Mecánica Cuántica . Traducido por Robertson, HP Dover. ISBN 978-0-486-60269-1. Traducido del alemán Gruppentheorie und Quantenmechanik (2ª ed.). S. Hirzel Verlag . 1931.
- ^ a b c d e f Cohen-Tannoudji, Claude ; Diu, Bernard; Laloë, Franck (2005). Mecánica cuántica . Traducido por Hemley, Susan Reid; Ostrowsky, Nicole; Ostrowsky, Dan. John Wiley e hijos. ISBN 0-471-16433-X.
- ^ a b Shankar, R. (1994). Principios de la mecánica cuántica (2ª ed.). Kluwer Academic / Plenum Publishers. ISBN 978-0-306-44790-7.
- ^ a b Rieffel, Eleanor G .; Polak, Wolfgang H. (4 de marzo de 2011). Computación cuántica: una suave introducción . Prensa del MIT. ISBN 978-0-262-01506-6.
- ^ Yaffe, Laurence G. (2015). "Capítulo 6: Simetrías" (PDF) . Física 226: Partículas y simetrías . Consultado el 1 de enero de 2021 .
- ^ Atkins, PW (1978). Química Física . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-855148-7.
- ^ Hook, JR; Hall, HE (2010). Física del estado sólido . Manchester Physics Series (2ª ed.). John Wiley e hijos. ISBN 978-0-471-92804-1.
- ^ Townsend, John S. (2012). "Capítulo 7: El oscilador armónico unidimensional". Un enfoque moderno de la mecánica cuántica . Libros universitarios de ciencia. págs. 247–250, 254–5, 257, 272. ISBN 978-1-891389-78-8.
- ^ Tipler, PA; Mosca, G. (2008). Física para científicos e ingenieros - con la física moderna (6ª ed.). Hombre libre. ISBN 0-7167-8964-7.
- ^ Griffiths, David J. (2008). Introducción a las partículas elementales . Wiley-VCH. págs. 162–. ISBN 978-3-527-40601-2. Consultado el 27 de junio de 2011 .
- ^ a b c d e f Peres, Asher (1993). Teoría cuántica: conceptos y métodos . Kluwer . ISBN 0-7923-2549-4. OCLC 28854083 .
- ^ Breuer, Heinz; Petruccione, Francesco (2002). La teoría de los sistemas cuánticos abiertos . pag. 110. ISBN 978-0-19-852063-4.
- ^ Schwabl, Franz (2002). Mecánica estadística . pag. 16. ISBN 978-3-540-43163-3.
- ^ Coleman, Sidney (8 de noviembre de 2018). Derbes, David; Ting, Yuan-sen; Chen, Bryan Gin-ge; Sohn, Richard; Griffiths, David; Hill, Brian (eds.). Conferencias de Sidney Coleman sobre teoría cuántica de campos . Publicaciones científicas mundiales. ISBN 978-9-814-63253-9. OCLC 1057736838 .
- ^ de Broglie, L. (1925). "Recherches sur la théorie des quanta" [Sobre la teoría de los cuántos] (PDF) . Annales de Physique . 10 (3): 22–128. Código Bibliográfico : 1925AnPh ... 10 ... 22D . doi : 10.1051 / anphys / 192510030022 . Archivado desde el original (PDF) el 9 de mayo de 2009.
- ^ Weissman, MB; VV Iliev; I. Gutman (2008). "Un pionero recordado: notas biográficas sobre Arthur Constant Lunn". Comunicaciones en Matemática y Química Informática . 59 (3): 687–708.
- ^ Samuel I. Weissman; Michael Weissman (1997). "El engaño de Alan Sokal y la teoría de la mecánica cuántica de A. Lunn". La física hoy . 50, 6 (6): 15. Bibcode : 1997PhT .... 50f..15W . doi : 10.1063 / 1.881789 .
- ^ Kamen, Martin D. (1985). Ciencia radiante, política oscura . Berkeley y Los Ángeles, California: University of California Press. págs. 29–32 . ISBN 978-0-520-04929-1.
- ^ Schrödinger, E. (1984). Papeles recolectados . Friedrich Vieweg und Sohn. ISBN 978-3-7001-0573-2. Véase la introducción al primer artículo de 1926.
- ^ Lerner, RG ; Trigg, GL (1991). Enciclopedia de Física (2ª ed.). Editores de VHC. ISBN 0-89573-752-3.
- ^ Sommerfeld, A. (1919). Atombau und Spektrallinien . Braunschweig: Friedrich Vieweg und Sohn. ISBN 978-3-87144-484-5.
- ^ Para obtener una fuente en inglés, consulte Haar, T. (1967). "La vieja teoría cuántica" . Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Teresi, Dick (7 de enero de 1990). "El llanero solitario de la mecánica cuántica" . The New York Times . ISSN 0362-4331 . Consultado el 13 de octubre de 2020 .
- ^ a b Schrödinger, Erwin (1982). Artículos recopilados sobre mecánica ondulatoria (3ª ed.). Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-3524-1.
- ^ Schrödinger, E. (1926). "Quantisierung als Eigenwertproblem; von Erwin Schrödinger" . Annalen der Physik . 384 (4): 361–377. Código Bibliográfico : 1926AnP ... 384..361S . doi : 10.1002 / yp.19263840404 .
- ^ Erwin Schrödinger, "La situación actual en la mecánica cuántica", p. 9 de 22. La versión en inglés fue traducida por John D. Trimmer. La traducción apareció por primera vez en Proceedings of the American Philosophical Society , 124, 323–38. Posteriormente apareció como la Sección I.11 de la Parte I de Teoría y Medición Cuántica por JA Wheeler y WH Zurek, eds., Princeton University Press, Nueva Jersey 1983.
- ^ a b Moore, WJ (1992). Schrödinger: vida y pensamiento . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-43767-7.
- ^ Omnès, R. (1994). La interpretación de la mecánica cuántica . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 978-0-691-03669-4. OCLC 439453957 .
- ^ Faye, enero (2019). "Interpretación de Copenhague de la mecánica cuántica" . En Zalta, Edward N. (ed.). Enciclopedia de Filosofía de Stanford . Laboratorio de Investigación en Metafísica, Universidad de Stanford.
- ^ Chevalley, Catherine (1999). "¿Por qué encontramos a Bohr Obscure?". En Greenberger, Daniel; Reiter, Wolfgang L .; Zeilinger, Anton (eds.). Perspectivas epistemológicas y experimentales de la física cuántica . Springer Science + Business Media. págs. 59–74. doi : 10.1007 / 978-94-017-1454-9 . ISBN 978-9-04815-354-1.
- ^ van Fraassen, Bas C. (abril de 2010). "El mundo de Rovelli" . Fundamentos de la Física . 40 (4): 390–417. doi : 10.1007 / s10701-009-9326-5 . ISSN 0015-9018 .
- ^ Healey, Richard (2016). "Vistas cuánticas-bayesianas y pragmáticas de la teoría cuántica" . En Zalta, Edward N. (ed.). Enciclopedia de Filosofía de Stanford . Laboratorio de Investigación en Metafísica, Universidad de Stanford.
- ^ Deutsch, David (2010). "Aparte de los universos". En S. Saunders; J. Barrett; A. Kent; D. Wallace (eds.). ¿Muchos mundos? Everett, teoría cuántica y realidad . Prensa de la Universidad de Oxford.
- ^ Schrödinger, Erwin (1996). Bitbol, Michel (ed.). La interpretación de la mecánica cuántica: Seminarios de Dublín (1949-1955) y otros ensayos inéditos . Prensa OxBow.
- ^ Barrett, Jeffrey (2018). "Formulación de estado relativo de Everett de la mecánica cuántica" . En Zalta, Edward N. (ed.). Enciclopedia de Filosofía de Stanford . Laboratorio de Investigación en Metafísica, Universidad de Stanford.
- ^ Wallace, David (2003). "Racionalidad Everettiana: defender el enfoque de Deutsch a la probabilidad en la interpretación de Everett". Semental. Hist. Phil. Modificación. Phys . 34 (3): 415–438. arXiv : quant-ph / 0303050 . Código Bibliográfico : 2003SHPMP..34..415W . doi : 10.1016 / S1355-2198 (03) 00036-4 . S2CID 1921913 .
- ^ Ballentine, LE (1973). "¿Se puede derivar el postulado estadístico de la teoría cuántica? —Una crítica de la interpretación de muchos universos". Fundamentos de la Física . 3 (2): 229–240. doi : 10.1007 / BF00708440 . S2CID 121747282 .
- ^ Landsman, NP (2008). "La regla del Born y su interpretación" (PDF) . En Weinert, F .; Hentschel, K .; Greenberger, D .; Falkenburg, B. (eds.). Compendio de Física Cuántica . Saltador. ISBN 3-540-70622-4.
La conclusión parece ser que hasta la fecha no se ha dado ninguna derivación generalmente aceptada de la regla de Born, pero esto no implica que dicha derivación sea imposible en principio.
- ^ Kent, Adrian (2010). "Un mundo contra muchos: la insuficiencia de las explicaciones everettianas de la evolución, la probabilidad y la confirmación científica". En S. Saunders; J. Barrett; A. Kent; D. Wallace (eds.). ¿Muchos mundos? Everett, teoría cuántica y realidad . Prensa de la Universidad de Oxford. arXiv : 0905.0624 . Código bibliográfico : 2009arXiv0905.0624K .
- ^ Goldstein, Sheldon (2017). "Mecánica bohmiana" . En Zalta, Edward N. (ed.). Enciclopedia de Filosofía de Stanford . Laboratorio de Investigación en Metafísica, Universidad de Stanford.
enlaces externos
- "Ecuación de Schrödinger" . Enciclopedia de Matemáticas . EMS Press . 2001 [1994].
- Libro de cocina cuántica y PHYS 201: Fundamentos de la física II por Ramamurti Shankar , Yale OpenCourseware
- La revolución moderna en física : un libro de texto en línea.
- Física cuántica I en MIT OpenCourseWare