En la rama de las matemáticas conocida como topología , la curva sinusoidal del topólogo o curva sinusoidal de Varsovia es un espacio topológico con varias propiedades interesantes que lo convierten en un importante ejemplo de libro de texto.
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Topologist%27s_sine_curve.svg/420px-Topologist%27s_sine_curve.svg.png)
Se puede definir como la gráfica de la función sin (1 / x ) en el intervalo semiabierto (0, 1], junto con el origen, bajo la topología inducida desde el plano euclidiano :
Propiedades
La curva sinusoidal T del topólogo está conectada, pero no está conectada localmente ni está conectada a una trayectoria . Esto se debe a que incluye el punto (0,0) pero no hay forma de vincular la función al origen para hacer una ruta .
El espacio T es la imagen continua de un espacio localmente compacto (es decir, sea V el espacio {−1} ∪ (0, 1], y use el mapa f de V a T definido por f (−1) = (0 , 0) yf ( x ) = ( x , sin (1 / x )) para x > 0), pero T no es localmente compacto en sí mismo.
La dimensión topológica de T es 1.
Variantes
Dos variantes de la curva sinusoidal del topólogo tienen otras propiedades interesantes.
La curva sinusoidal del topólogo cerrado se puede definir tomando la curva sinusoidal del topólogo y agregando su conjunto de puntos límite ,; algunos textos definen la curva sinusoidal del topólogo en sí misma como esta versión cerrada. [1] Este espacio está cerrado y delimitado y es tan compacto por el teorema de Heine-Borel , pero tiene propiedades similares a la curva sinusoidal del topólogo: también está conectado, pero no está conectado localmente ni conectado por trayectoria.
La curva sinusoidal del topólogo extendido se puede definir tomando la curva sinusoidal del topólogo cerrado y añadiéndole el conjunto. Está conectado por arco pero no está conectado localmente .
Ver también
Referencias
- Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de 1978 ed.), Mineola, NY: Dover Publications, Inc., págs. 137-138, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 1382863
- Weisstein, Eric W. "Curva sinusoidal del topólogo" . MathWorld .