Topología

Rama de las matemáticas

Este artículo trata sobre la rama de las matemáticas. Para la estructura matemática, consulte Espacio topológico . Para otros usos, consulte Topología (desambiguación) .

No confundir con topografía o tipología .

Las tiras de Möbius , que tienen una sola superficie y un borde, son un tipo de objeto estudiado en topología.

En matemáticas , la topología (de las palabras griegas τόπος , 'lugar, ubicación' y λόγος , 'estudio') se ocupa de las propiedades de un objeto geométrico que se conservan bajo deformaciones continuas , como estiramiento , torsión , arrugamiento y flexión. ; es decir, sin cerrar agujeros, sin abrir agujeros, sin rasgar, pegar o pasar por sí mismo.

Un espacio topológico es un conjunto dotado de una estructura, denominada topología , que permite definir deformaciones continuas de subespacios y, de manera más general, todo tipo de continuidad . Los espacios euclidianos y, de manera más general, los espacios métricos son ejemplos de un espacio topológico, ya que cualquier distancia o métrica define una topología. Las deformaciones que se consideran en topología son homeomorfismos y homotopías . Una propiedad que es invariante bajo tales deformaciones es una propiedad topológica . Ejemplos básicos de propiedades topológicas son: la dimensión , que permite distinguir entre unlínea y superficie ; compacidad , que permite distinguir entre una línea y un círculo; conectividad , que permite distinguir un círculo de dos círculos que no se cruzan.

Las ideas que subyacen a la topología se remontan a Gottfried Leibniz , quien en el siglo XVII concibió la geometria situs y el análisis situs . El problema de los Siete Puentes de Königsberg y la fórmula del poliedro de Leonhard Euler son posiblemente los primeros teoremas del campo. El término topología fue introducido por Johann Benedict Listing en el siglo XIX, aunque no fue hasta las primeras décadas del siglo XX que se desarrolló la idea de un espacio topológico.

Una representación tridimensional de un nudo de trébol engrosado , el nudo no trivial más simple

Motivación

La idea motivadora detrás de la topología es que algunos problemas geométricos no dependen de la forma exacta de los objetos involucrados, sino más bien de la forma en que se unen. Por ejemplo, el cuadrado y el círculo tienen muchas propiedades en común: ambos son objetos unidimensionales (desde un punto de vista topológico) y ambos separan el plano en dos partes, la parte interior y la parte exterior.

En uno de los primeros artículos en topología, Leonhard Euler demostró que era imposible encontrar una ruta a través de la ciudad de Königsberg (ahora Kaliningrado ) que cruzara cada uno de sus siete puentes exactamente una vez. Este resultado no dependió de la longitud de los puentes o de su distancia entre sí, sino solo de las propiedades de conectividad: qué puentes se conectan a qué islas o riberas. Este problema de los Siete Puentes de Königsberg condujo a la rama de las matemáticas conocida como teoría de grafos .

Una deformación continua (un tipo de homeomorfismo) de una taza en una rosquilla (toroide) y una vaca en una esfera.

De manera similar, el teorema de la bola peluda de la topología algebraica dice que "no se puede peinar el cabello sobre una bola peluda sin crear un mechón ". Este hecho es inmediatamente convincente para la mayoría de las personas, aunque no reconozcan el enunciado más formal del teorema, de que no existe un campo vectorial tangente continuo que no se desvanezca en la esfera. Como ocurre con los puentes de Königsberg , el resultado no depende de la forma de la esfera; se aplica a cualquier tipo de mancha lisa, siempre que no tenga agujeros.

Para hacer frente a estos problemas que no dependen de la forma exacta de los objetos, hay que ser claro acerca de lo que acaba de propiedades de estos problemas no confían. De esta necesidad surge la noción de homeomorfismo. La imposibilidad de cruzar cada puente una sola vez se aplica a cualquier disposición de puentes homeomórficos a los de Königsberg, y el teorema de la bola peluda se aplica a cualquier espacio homeomórfico de una esfera.

Intuitivamente, dos espacios son homeomórficos si uno se puede deformar en el otro sin cortar ni pegar. Una broma tradicional es que un topólogo no puede distinguir una taza de café de una rosquilla, ya que una rosquilla lo suficientemente flexible podría transformarse en una taza de café creando un hoyuelo y agrandándolo progresivamente, mientras que encoge el agujero en un asa. ^[1]

El homeomorfismo puede considerarse la equivalencia topológica más básica . Otro es la equivalencia de homotopía . Esto es más difícil de describir sin ser técnico, pero la noción esencial es que dos objetos son equivalentes de homotopía si ambos resultan de "aplastar" algún objeto más grande.

Clases de equivalencia del alfabeto latino en la fuente sans-serif

Homeomorfismo	Equivalencia de homotopía

Un ejercicio introductorio consiste en clasificar las letras mayúsculas del alfabeto inglés según el homeomorfismo y la equivalencia de homotopía. El resultado depende de la fuente utilizada y de si los trazos que componen las letras tienen algún grosor o son curvas ideales sin grosor. Las figuras aquí utilizan la fuente sans-serif Myriad y se supone que consisten en curvas ideales sin grosor. La equivalencia de homotopía es una relación más burda que el homeomorfismo; una clase de equivalencia de homotopía puede contener varias clases de homeomorfismo. El caso simple de equivalencia de homotopía descrito anteriormente se puede utilizar aquí para mostrar que dos letras son equivalentes de homotopía. Por ejemplo, O encaja dentro de P y la cola de la P se puede aplastar a la parte del "agujero".

Las clases de homeomorfismo son:

• sin agujeros correspondientes a C, G, I, J, L, M, N, S, U, V, W y Z;
• sin agujeros y tres colas correspondientes a E, F, T e Y;
• sin agujeros y cuatro colas que se corresponden con X;
• un agujero y sin cola correspondiente a D y O;
• un agujero y una cola correspondientes a P y Q;
• un hoyo y dos colas correspondientes a A y R;
• dos agujeros y sin cola correspondientes a B; y
• una barra con cuatro colas que se corresponden con H y K; la "barra" de la K es demasiado corta para verla.

Las clases de homotopía son más grandes, porque las colas se pueden aplastar hasta un punto. Ellos son:

• un agujero
• dos agujeros, y
• sin agujeros.

Para clasificar las letras correctamente, debemos demostrar que dos letras de la misma clase son equivalentes y dos letras de diferentes clases no son equivalentes. En el caso del homeomorfismo, esto se puede hacer seleccionando puntos y mostrando que su eliminación desconecta las letras de manera diferente. Por ejemplo, X e Y no son homeomorfos porque al quitar el punto central de la X quedan cuatro piezas; cualquiera que sea el punto de Y que corresponda a este punto, su remoción puede dejar como máximo tres piezas. El caso de la equivalencia de homotopía es más difícil y requiere un argumento más elaborado que muestre que un invariante algebraico, como el grupo fundamental , es diferente en las clases supuestamente diferentes.

La topología de letras tiene relevancia práctica en la tipografía de estarcido . Por ejemplo, las plantillas de fuentes Braggadocio están hechas de una pieza de material conectada.

Historia

Los siete puentes de Königsberg fue un problema resuelto por Euler.

Ver también: Historia de los axiomas de separación

La topología, como disciplina matemática bien definida, se origina a principios del siglo XX, pero algunos resultados aislados se remontan a varios siglos. ^[2] Entre estas se encuentran ciertas cuestiones de geometría investigadas por Leonhard Euler . Su artículo de 1736 sobre los siete puentes de Königsberg se considera una de las primeras aplicaciones prácticas de la topología. ^[2] El 14 de noviembre de 1750, Euler le escribió a un amigo que se había dado cuenta de la importancia de los bordes de un poliedro . Esto llevó a su fórmula de poliedro , V - E + F = 2 (donde V ,E y F indican respectivamente el número de vértices, aristas y caras del poliedro). Algunas autoridades consideran este análisis como el primer teorema, que señala el nacimiento de la topología. ^[3]

Augustin-Louis Cauchy , Ludwig Schläfli , Johann Benedict Listing , Bernhard Riemann y Enrico Betti hicieron otras contribuciones . ^[4] Listing introdujo el término "Topologie" en Vorstudien zur Topologie , escrito en su alemán nativo, en 1847, después de haber usado la palabra durante diez años en correspondencia antes de su primera aparición impresa. ^[5] La forma inglesa "topología" se utilizó en 1883 en el obituario de Listing en la revista Nature para distinguir "la geometría cualitativa de la geometría ordinaria en la que se tratan principalmente las relaciones cuantitativas". ^[6]

Su trabajo fue corregido, consolidado y ampliado en gran medida por Henri Poincaré . En 1895, publicó su innovador artículo sobre Analysis Situs , que introdujo los conceptos ahora conocidos como homotopía y homología , que ahora se consideran parte de la topología algebraica . ^[4]

Características topológicas de 2 colectores cerrados ^[4]

Colector	Euler num	Orientabilidad	Números de Betti			Coeficiente de torsión (1-dim)
			b 0	b 1	b 2
Esfera	2	Orientable	1	0	1	ninguno
Toro	0	Orientable	1	2	1	ninguno
Toro de 2 agujeros	−2	Orientable	1	4	1	ninguno
toro con agujeros g ( género g )	2 - 2 g	Orientable	1	2 g	1	ninguno
Plano proyectivo	1	No orientable	1	0	0	2
Botella de klein	0	No orientable	1	1	0	2
Esfera con c tapones en cruz ( c > 0 )	2 - c	No orientable	1	c - 1	0	2
2-Manifold con g agujeros y c transversales tapones ( c > 0 )	2 - (2 g + c )	No orientable	1	(2 g + c ) - 1	0	2

Unificando el trabajo sobre espacios funcionales de Georg Cantor , Vito Volterra , Cesare Arzelà , Jacques Hadamard , Giulio Ascoli y otros, Maurice Fréchet introdujo el espacio métrico en 1906. ^[7] Un espacio métrico ahora se considera un caso especial de un espacio topológico general. , con cualquier espacio topológico dado potencialmente dando lugar a muchos espacios métricos distintos. En 1914, Felix Hausdorff acuñó el término "espacio topológico" y dio la definición de lo que ahora se llama un espacio de Hausdorff . ^[8]Actualmente, un espacio topológico es una ligera generalización de los espacios de Hausdorff, dada en 1922 por Kazimierz Kuratowski . ^[9]

La topología moderna depende en gran medida de las ideas de la teoría de conjuntos, desarrollada por Georg Cantor a finales del siglo XIX. Además de establecer las ideas básicas de la teoría de conjuntos, Cantor consideró los conjuntos de puntos en el espacio euclidiano como parte de su estudio de las series de Fourier . Para más desarrollos, consulte topología de conjuntos de puntos y topología algebraica.

Conceptos

Topologías en conjuntos

Artículo principal: espacio topológico

El término topología también se refiere a una idea matemática específica central en el área de las matemáticas llamada topología. De manera informal, una topología dice cómo los elementos de un conjunto se relacionan espacialmente entre sí. El mismo conjunto puede tener diferentes topologías. Por ejemplo, la línea real , el plano complejo y el conjunto de Cantor se pueden considerar como el mismo conjunto con diferentes topologías.

Formalmente, deje X sea un conjunto y dejar que τ ser una familia de subconjuntos de X . Entonces τ se llama topología en X si:

1. Tanto el conjunto vacío como X son elementos de τ .
2. Cualquier unión de elementos de τ es un elemento de τ .
3. Cualquier intersección de un número finito de elementos de τ es un elemento de τ .

Si τ es una topología en X , entonces el par ( X , τ ) se denomina espacio topológico. La notación X _τ puede usarse para denotar un conjunto X dotado de la topología particular τ . Por definición, cada topología es un π -sistema .

Los miembros de τ se llaman conjuntos abiertos en X . Se dice que un subconjunto de X está cerrado si su complemento está en τ (es decir, su complemento está abierto). Un subconjunto de X puede estar abierto, cerrado, ambos (un conjunto cerrado ) o ninguno. El conjunto vacío y la propia X siempre están cerrados y abiertos. Un subconjunto abierto de X que contiene un punto x se llama vecindad de x .

Funciones continuas y homeomorfismos

Artículos principales: función continua y homeomorfismo

Una función o mapa de un espacio topológico a otro se llama continuo si la imagen inversa de cualquier conjunto abierto está abierta. Si la función asigna los números reales a los números reales (ambos espacios con la topología estándar), entonces esta definición de continuo es equivalente a la definición de continuo en cálculo . Si una función continua es uno a uno y sobre, y si la inversa de la función también es continua, entonces la función se llama homeomorfismo y el dominio de la función se dice que es homeomorfo al rango. Otra forma de decir esto es que la función tiene una extensión natural a la topología. Si dos espacios son homeomorfos, tienen propiedades topológicas idénticas y se consideran topológicamente iguales. El cubo y la esfera son homeomorfos, al igual que la taza de café y la rosquilla. Pero el círculo no es homeomórfico para la rosquilla.

Colectores

Artículo principal: Colector

Si bien los espacios topológicos pueden ser extremadamente variados y exóticos, muchas áreas de la topología se centran en la clase más familiar de espacios conocidos como variedades. Una variedad es un espacio topológico que se asemeja al espacio euclidiano cerca de cada punto. Más precisamente, cada punto de una variedad n- dimensional tiene una vecindad que es homeomórfica al espacio euclidiano de dimensión n . Las líneas y los círculos , pero no los ocho , son variedades unidimensionales. Los colectores bidimensionales también se denominan superficies , aunque no todas las superficies son colectores. Los ejemplos incluyen el avión, la esfera y el toro, que pueden realizarse sin auto-intersección en tres dimensiones, y la botella de Klein y el plano proyectivo real , que no pueden (es decir, todas sus realizaciones son superficies que no son múltiples).

Temas

Topología general

Artículo principal: topología general

La topología general es la rama de la topología que se ocupa de las definiciones y construcciones básicas de la teoría de conjuntos utilizadas en topología. ^{[10] [11]} Es la base de la mayoría de las otras ramas de la topología, incluida la topología diferencial, la topología geométrica y la topología algebraica. Otro nombre para la topología general es topología de conjuntos de puntos.

El objeto básico de estudio son los espacios topológicos , que son conjuntos dotados de una topología , es decir, una familia de subconjuntos , denominados conjuntos abiertos , que se cierra bajo intersecciones finitas y uniones (finitas o infinitas) . Los conceptos fundamentales de la topología, como continuidad , compacidad y conectividad., se puede definir en términos de conjuntos abiertos. De manera intuitiva, las funciones continuas llevan puntos cercanos a puntos cercanos. Los conjuntos compactos son aquellos que pueden cubrirse con un número finito de conjuntos de tamaño arbitrariamente pequeño. Los conjuntos conectados son conjuntos que no se pueden dividir en dos piezas que están muy separadas. Las palabras cercanas , arbitrariamente pequeñas y lejanas se pueden precisar mediante el uso de conjuntos abiertos. Se pueden definir varias topologías en un espacio determinado. Cambiar una topología consiste en cambiar la colección de conjuntos abiertos. Esto cambia qué funciones son continuas y qué subconjuntos son compactos o conectados.

Los espacios métricos son una clase importante de espacios topológicos donde la distancia entre dos puntos cualesquiera se define mediante una función llamada métrica . En un espacio métrico, un conjunto abierto es una unión de discos abiertos, donde un disco abierto de radio r centrado en x es el conjunto de todos los puntos cuya distancia ax es menor que r . Muchos espacios comunes son espacios topológicos cuya topología se puede definir mediante una métrica. Este es el caso de la línea real , el plano complejo , los espacios vectoriales reales y complejos y los espacios euclidianos . Tener una métrica simplifica muchas pruebas.

Topología algebraica

Artículo principal: topología algebraica

La topología algebraica es una rama de las matemáticas que utiliza herramientas del álgebra para estudiar espacios topológicos. ^[12] El objetivo básico es encontrar invariantes algebraicos que clasifiquen los espacios topológicos hasta el homeomorfismo, aunque generalmente la mayoría clasifica hasta la equivalencia de homotopía.

Los más importantes de estos invariantes son los grupos de homotopía , la homología y la cohomología .

Aunque la topología algebraica utiliza principalmente el álgebra para estudiar problemas topológicos, a veces también es posible utilizar la topología para resolver problemas algebraicos. La topología algebraica, por ejemplo, permite una prueba conveniente de que cualquier subgrupo de un grupo libre es nuevamente un grupo libre.

Topología diferencial

Artículo principal: topología diferencial

Topología diferencial es el campo se trata de funciones diferenciables en variedades diferenciables . ^[13] Está estrechamente relacionado con la geometría diferencial y juntos forman la teoría geométrica de variedades diferenciables.

Más específicamente, la topología diferencial considera las propiedades y estructuras que solo requieren una estructura suave en una variedad para ser definidas. Las variedades lisas son "más suaves" que las variedades con estructuras geométricas extra, que pueden actuar como obstrucciones para ciertos tipos de equivalencias y deformaciones que existen en la topología diferencial. Por ejemplo, el volumen y la curvatura de Riemann son invariantes que pueden distinguir diferentes estructuras geométricas en la misma variedad suave, es decir, uno puede "aplanar" suavemente ciertas variedades, pero podría requerir distorsionar el espacio y afectar la curvatura o el volumen.

Topología geométrica

Artículo principal: topología geométrica

La topología geométrica es una rama de la topología que se centra principalmente en variedades de baja dimensión (es decir, espacios de dimensiones 2, 3 y 4) y su interacción con la geometría, pero también incluye alguna topología de dimensiones superiores. ^[14] Algunos ejemplos de temas en topología geométrica son la orientabilidad , las descomposiciones por manejo , la planitud local , el arrugamiento y el teorema de Schönflies planar y de dimensiones superiores .

En topología de alta dimensión, las clases de características son un invariante básico y la teoría de la cirugía es una teoría clave.

La topología de baja dimensión es fuertemente geométrica, como se refleja en el teorema de uniformización en 2 dimensiones: cada superficie admite una métrica de curvatura constante; geométricamente, tiene una de 3 geometrías posibles: curvatura positiva / esférica, curvatura cero / plana y curvatura negativa / hiperbólica - y la conjetura de geometrización (ahora teorema) en 3 dimensiones - cada 3-variedad se puede cortar en pedazos, cada uno de que tiene una de las ocho geometrías posibles.

La topología bidimensional se puede estudiar como geometría compleja en una variable ( las superficies de Riemann son curvas complejas); según el teorema de uniformización, cada clase conforme de métrica es equivalente a una única compleja, y la topología tetradimensional se puede estudiar desde el punto de vista de vista de geometría compleja en dos variables (superficies complejas), aunque no todas las variedades de 4 admiten una estructura compleja.

Generalizaciones

Ocasionalmente, es necesario utilizar las herramientas de topología, pero no se dispone de un "conjunto de puntos". En la topología sin sentido se considera en cambio la red de conjuntos abiertos como la noción básica de la teoría, ^[15] mientras que las topologías de Grothendieck son estructuras definidas en categorías arbitrarias que permiten la definición de poleas en esas categorías, y con eso la definición de teorías de cohomología general . ^[dieciséis]

Aplicaciones

Biología

La topología se ha utilizado para estudiar varios sistemas biológicos, incluidas moléculas y nanoestructuras (por ejemplo, objetos membranosos ^[17] ). En particular, la topología de circuitos y la teoría de nudos se han aplicado ampliamente para clasificar y comparar la topología de proteínas plegadas y ácidos nucleicos. La topología de circuitos clasifica las cadenas moleculares plegadas basándose en la disposición por pares de sus contactos intracadena y cruces de cadena. La teoría de nudos , una rama de la topología, se utiliza en biología para estudiar los efectos de ciertas enzimas en el ADN. Estas enzimas cortan, retuercen y vuelven a conectar el ADN, provocando un nudo con efectos observables como una electroforesis más lenta . ^[18]La topología también se utiliza en biología evolutiva para representar la relación entre fenotipo y genotipo . ^{[19] Las} formas fenotípicas que parecen bastante diferentes pueden separarse solo por unas pocas mutaciones, dependiendo de cómo los cambios genéticos se correspondan con los cambios fenotípicos durante el desarrollo. En neurociencia, se han utilizado cantidades topológicas como la característica de Euler y el número de Betti para medir la complejidad de los patrones de actividad en las redes neuronales.

Ciencias de la computación

El análisis de datos topológicos utiliza técnicas de topología algebraica para determinar la estructura a gran escala de un conjunto (por ejemplo, determinar si una nube de puntos es esférica o toroidal ). El método principal utilizado por el análisis de datos topológicos es:

1. Reemplace un conjunto de puntos de datos con una familia de complejos simpliciales , indexados por un parámetro de proximidad.
2. Analice estos complejos topológicos a través de la topología algebraica, específicamente, a través de la teoría de la homología persistente . ^[20]
3. Codifique la homología persistente de un conjunto de datos en forma de una versión parametrizada de un número Betti , que se denomina código de barras. ^[20]

Varias ramas de la semántica de los lenguajes de programación , como la teoría de dominios , se formalizan mediante topología. En este contexto, Steve Vickers , basándose en el trabajo de Samson Abramsky y Michael B. Smyth , caracteriza los espacios topológicos como álgebras booleanas o de Heyting sobre conjuntos abiertos, que se caracterizan como propiedades semidecidibles (equivalentes, finitamente observables). ^[21]

Física

La topología es relevante para la física en áreas tales como la materia física condensada , ^[22] teoría cuántica de campos y cosmología física .

La dependencia topológica de las propiedades mecánicas en los sólidos es de interés en las disciplinas de la ingeniería mecánica y la ciencia de los materiales . Las propiedades eléctricas y mecánicas dependen de la disposición y las estructuras de la red de moléculas y unidades elementales en los materiales. ^[23] La resistencia a la compresión de las topologías arrugadas se estudia en un intento por comprender la alta resistencia al peso de tales estructuras que son en su mayoría espacios vacíos. ^{[24] La} topología es de mayor importancia en la mecánica de contacto, donde la dependencia de la rigidez y la fricción de la dimensionalidad de estructuras de superficie es el tema de interés con aplicaciones en la física de múltiples cuerpos.

Una teoría de campos cuánticos topológicos (o teoría de campos topológicos o TQFT) es una teoría de campos cuánticos que calcula invariantes topológicos .

Aunque los TQFT fueron inventados por físicos, también son de interés matemático, ya que están relacionados, entre otras cosas, con la teoría de nudos , la teoría de cuatro variedades en topología algebraica y con la teoría de espacios de módulos en geometría algebraica. Donaldson , Jones , Witten y Kontsevich han ganado medallas Fields por trabajos relacionados con la teoría de campos topológicos.

La clasificación topológica de las variedades de Calabi-Yau tiene implicaciones importantes en la teoría de cuerdas , ya que diferentes variedades pueden sostener diferentes tipos de cuerdas. ^[25]

En cosmología, la topología se puede utilizar para describir la forma general del universo. ^[26] Esta área de investigación se conoce comúnmente como topología espacio-temporal .

Robótica

Las posibles posiciones de un robot se pueden describir mediante un colector denominado espacio de configuración . ^[27] En el área de planificación de movimiento , uno encuentra caminos entre dos puntos en el espacio de configuración. Estos caminos representan un movimiento de las articulaciones del robot y otras partes en la pose deseada. ^[28]

Juegos y rompecabezas

Los rompecabezas de enredos se basan en aspectos topológicos de las formas y componentes del rompecabezas. ^{[29] [30] [31]}

Arte de fibra

Para crear una unión continua de piezas en una construcción modular, es necesario crear un camino ininterrumpido en un orden que rodee cada pieza y atraviese cada borde una sola vez. Este proceso es una aplicación del camino euleriano . ^[32]

Ver también

• Caracterizaciones de la categoría de espacios topológicos
• Topología equivariante
• Lista de temas de topología algebraica
• Lista de ejemplos en topología general
• Lista de temas de topología general
• Lista de temas de topología geométrica
• Lista de temas de topología
• Publicaciones en topología
• Topoisómero
• Glosario de topología
• Geometría topológica
• Orden topológico

Referencias

Citas

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Bibliografía

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Lectura adicional

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• Pickover, Clifford A. (2006). The Möbius Strip: la maravillosa banda del Dr. August Möbius en matemáticas, juegos, literatura, arte, tecnología y cosmología . Prensa de la boca del trueno. ISBN 978-1-56025-826-1. (Proporciona una introducción popular a la topología y la geometría)
• Gemignani, Michael C. (1990) [1967], Topología elemental (2ª ed.), Dover Publications Inc., ISBN 978-0-486-66522-1

Enlaces externos

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Wikilibros tiene más sobre el tema de: Topología

• "Topología, general" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Topología elemental: un primer curso Viro, Ivanov, Netsvetaev, Kharlamov.
• Topología en Curlie
• El zoológico topológico en el centro de geometría .
• Atlas de topología
• Notas de la clase del curso de topología Aisling McCluskey y Brian McMaster, Topology Atlas.
• Glosario de topología
• Moscú 1935: Topología avanzando hacia América , ensayo histórico de Hassler Whitney .