En álgebra , un módulo libre de torsión es un módulo sobre un anillo tal que el cero es el único elemento aniquilado por un elemento regular (no divisor de cero ) del anillo. En otras palabras, un módulo está libre de torsión si su submódulo de torsión se reduce a su elemento cero.
En los dominios integrales, los elementos regulares del anillo son sus elementos distintos de cero, por lo que en este caso un módulo libre de torsión es aquel en el que cero es el único elemento aniquilado por algún elemento distinto de cero del anillo. Algunos autores trabajan solo sobre dominios integrales y usan esta condición como la definición de un módulo libre de torsión, pero esto no funciona bien sobre anillos más generales, porque si el anillo contiene divisores de cero, entonces el único módulo que satisface esta condición es el cero . módulo _
Sobre un anillo conmutativo R con anillo de cociente total K , un módulo M está libre de torsión si y solo si Tor 1 ( K / R , M ) se anula. Por lo tanto , los módulos planos , y en particular los módulos libres y proyectivos, están libres de torsión, pero lo contrario no tiene por qué ser cierto. Un ejemplo de un módulo libre de torsión que no es plano es el ideal ( x , y ) del anillo polinomial k [ x , y ] sobre un campo k , interpretado como un módulo sobrek [ x , y ].
Cualquier módulo sin torsión es un módulo sin torsión, pero lo contrario no es cierto, ya que Q es un módulo Z sin torsión que no es sin torsión.
Sobre un dominio integral noetheriano , los módulos libres de torsión son los módulos cuyo único primo asociado es cero. Más generalmente, sobre un anillo conmutativo noetheriano, los módulos libres de torsión son aquellos módulos cuyos números primos asociados están contenidos en los números primos asociados del anillo.
Sobre un dominio integralmente cerrado de Noether , cualquier módulo sin torsión generado finitamente tiene un submódulo libre tal que el cociente entre él es isomorfo a un ideal del anillo.