En álgebra abstracta , el anillo del cociente total , [1] o anillo total de fracciones , [2] es una construcción que generaliza la noción del campo de fracciones de un dominio integral a anillos conmutativos R que pueden tener cero divisores . La construcción incrusta R en un anillo más grande, dando a cada divisor distinto de cero de R un inverso en el anillo más grande. Si el homomorfismo de R al nuevo anillo debe ser inyectivo, no se puede dar una inversa a ningún otro elemento.
Definición
Dejar ser un anillo conmutativo y dejar ser el conjunto de elementos que no son divisores cero en ; luegoes un conjunto multiplicativamente cerrado . Por tanto, podemos localizar el anillo en el set para obtener el anillo del cociente total .
Si es un dominio , entoncesy el anillo del cociente total es el mismo que el campo de las fracciones. Esto justifica la notación, que a veces también se usa para el campo de las fracciones, ya que no hay ambigüedad en el caso de un dominio.
Desde en la construcción no contiene divisores cero, el mapa natural es inyectivo, por lo que el anillo del cociente total es una extensión de .
Ejemplos de
- Para un anillo de producto A × B , el anillo de cociente total Q ( A × B ) es el producto de los anillos de cociente total Q ( A ) × Q ( B ) . En particular, si A y B son dominios integrales, es el producto de campos de cocientes.
- Para el anillo de funciones holomórficas en un conjunto abierto D de números complejos, el anillo del cociente total es el anillo de funciones meromórficas en D , incluso si D no está conectado.
- En un anillo artiniano , todos los elementos son unidades o divisores cero. Por lo tanto, el conjunto de divisores distintos de cero es el grupo de unidades del anillo,, y entonces . Pero como todos estos elementos ya tienen inversos,.
- En un anillo R regular de von Neumann conmutativo , sucede lo mismo. Suponga que a en R no es un divisor de cero. Luego, en un anillo regular de von Neumann a = axa para alguna x en R , dando la ecuación a ( xa - 1) = 0. Como a no es un divisor de cero, xa = 1, mostrando a es una unidad. Aqui otra vez,.
- En geometría algebraica se considera un haz de anillos de cociente total en un esquema , y esto puede usarse para dar una posible definición de un divisor de Cartier .
El anillo total de fracciones de un anillo reducido.
Hay un hecho importante:
Proposición - Sea A un anillo reducido noetheriano con los ideales primos mínimos. Luego
Geométricamente, es el esquema artiniano que consiste (como un conjunto finito) de los puntos genéricos de los componentes irreductibles de.
Prueba: Cada elemento de Q ( A ) es una unidad o un divisor cero. Por lo tanto, cualquier ideal ideal I de Q ( A ) debe constar de zerodivisores. Dado que el conjunto de zerodivisores de Q ( A ) es la unión de los ideales primos mínimoscomo Q ( A es) reduce , por evitación prime , I deben estar contenidos en algunos. Por tanto, los idealesson los ideales máximos de Q ( A ), cuya intersección es cero. Por lo tanto, según el teorema del resto chino aplicado a Q ( A ), tenemos:
- .
Finalmente, es el campo de residuos de. De hecho, escribiendo S para el conjunto multiplicativamente cerrado de no zerodivisores, por la exactitud de la localización,
- ,
que ya es un campo y por lo tanto debe ser .
Generalización
Si es un anillo conmutativo y es cualquier conjunto cerrado multiplicativamente en, la localización todavía se puede construir, pero el homomorfismo de anillo de a puede no ser inyectivo. Por ejemplo, si, luego es el anillo trivial.
Citas
- ^ Matsumura 1980 , p. 12.
- ^ Matsumura 1989 , p. 21.
Referencias
- Matsumura, Hideyuki (1980), álgebra conmutativa
- Matsumura, Hideyuki (1989), teoría del anillo conmutativo