En álgebra abstracta , un módulo M sobre un anillo R se llama torsionless si puede ser embebido en algún producto directo R I . De manera equivalente, M no tiene torsión si cada elemento distinto de cero de M tiene una imagen distinta de cero bajo alguna función lineal de R f :
Esta noción fue introducida por Hyman Bass . [ cita requerida ]
Propiedades y ejemplos
Un módulo no tiene torsión si y solo si el mapa canónico en su doble dual,
es inyectable . Si este mapa es biyectivo, el módulo se llama reflexivo . Por esta razón, los módulos torsionless son también conocidos como semi-reflexiva .
- Un módulo libre unital no tiene torsión. De manera más general, una suma directa de módulos sin torsión es sin torsión.
- Un módulo libre es reflexivo si se genera de forma finita , pero para algunos anillos también hay módulos libres generados infinitamente que son reflexivos. Por ejemplo, la suma directa de innumerables copias de los enteros es un módulo reflexivo sobre los enteros, ver por ejemplo. [1]
- Un submódulo de un módulo sin torsión es sin torsión. En particular, cualquier módulo proyectivo sobre R es sin torsión; cualquier ideal izquierdo de R es un módulo izquierdo sin torsión, y de manera similar para los ideales derechos.
- Cualquier módulo sin torsión sobre un dominio es un módulo sin torsión , pero lo contrario no es cierto, ya que Q es un módulo Z sin torsión que no es sin torsión.
- Si R es un anillo conmutativo que es un dominio integral y M es un módulo libre de torsión generado finitamente , entonces M se puede incrustar en R n y, por lo tanto, M no tiene torsión.
- Suponga que N es un módulo R derecho , entonces su N ∗ dual tiene la estructura de un módulo R izquierdo . Resulta que cualquier módulo R izquierdo que surja de esta manera no tiene torsión (de manera similar, cualquier módulo R derecho que sea dual de un módulo R izquierdo no tiene torsión).
- En un dominio de Dedekind, un módulo generado de forma finita es reflexivo si y solo si está libre de torsión. [2]
- Deje que R sea un anillo noetheriano y M un reflexivo módulo finitamente generado sobre R . Luegoes un módulo reflexiva sobre S cuando S es plana sobre R . [3]
Relación con los anillos semi-hereditarios
Stephen Chase demostró la siguiente caracterización de los anillos semiheridos en relación con los módulos sin torsión:
Para cualquier anillo R , las siguientes condiciones son equivalentes: [4]
- R es semiheredado a la izquierda.
- Todos los módulos R derechos sin torsión son planos .
- El anillo R se deja coherente y satisface cualquiera de las cuatro condiciones que se sabe que son equivalentes:
- Todos los ideales correctos de R son planos.
- Todos los ideales de izquierda de R son planos.
- Los submódulos de todos los módulos R planos derechos son planos.
- Los submódulos de todos los módulos R planos izquierdos son planos.
(La mezcla de adjetivos izquierda / derecha en la declaración no es un error).
Ver también
Referencias
- ^ PC Eklof y AH Mekler, módulos casi gratuitos, biblioteca matemática de Holanda Septentrional vol. 46, Holanda Septentrional, Amsterdam 1990
- ^ Prueba: si M es reflexivo, no tiene torsión, por lo tanto, es un submódulo de un módulo proyectivo generado finitamente y, por lo tanto, es proyectivo (condición semihereditaria). Por el contrario, en un dominio de Dedekind, un módulo libre de torsión generado finitamente es proyectivo y un módulo proyectivo es reflexivo (la existencia de una base dual ).
- ^ Bourbaki y Ch. VII, § 4, n. 2. Proposición 8.
- ^ Lam 1999 , p 146.
- Capítulo VII de Bourbaki, Nicolas (1998), Álgebra conmutativa (2a ed.), Springer Verlag , ISBN 3-540-64239-0
- Lam, Tsit-Yuen (1999), Conferencias sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas No. 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294