Variación total

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En matemáticas , la variación total identifica varios conceptos ligeramente diferentes, relacionados con la estructura ( local o global) del codominio de una función o medida . Para una función continua de valor real f , definida en un intervalo [ a , b ] ⊂ R , su variación total en el intervalo de definición es una medida de la longitud de arco unidimensional de la curva con ecuación paramétrica x ↦ f ( x ) , para x ∈ [ a , b ]. Las funciones cuya variación total es finita se denominan funciones de variación acotada .

El concepto de variación total para funciones de una variable real fue introducido por primera vez por Camille Jordan en el artículo ( Jordan 1881 ). ^[1] Usó el nuevo concepto para probar un teorema de convergencia para series de Fourier de funciones periódicas discontinuas cuya variación está acotada . Sin embargo, la extensión del concepto a funciones de más de una variable no es simple por varias razones.

Definición 1.1. La variación total de un verdadero -valued (o más generalmente complejo -valued) función , definida en un intervalo es la cantidad${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle [a, b] \ subconjunto \ mathbb {R}}$

donde el supremo corre sobre el conjunto de todas las particiones del intervalo dado .${\ displaystyle {\ mathcal {P}} = \ left \ {P = \ {x_ {0}, \ dots, x_ {n_ {P}} \} \ mid P {\ text {es una partición de}} [ a, b] \ right \}}$

Definición 1.2. Sea Ω un subconjunto abierto de R ⁿ . Dada una función f que pertenece a L ¹ ( Ω ), la variación total de f en Ω se define como

Esta definición no requiere que el dominio de la función dada sea un conjunto acotado .${\ Displaystyle \ Omega \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}}$

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