Ley de la expectativa total

La proposición en la teoría de la probabilidad conocida como la ley de la expectativa total , ^[1] la ley de las expectativas iteradas ^[2] ( MENTIRA ), la regla de la torre , ^[3] la ley de Adam y el teorema de suavizado , ^[4] entre otros nombres, afirma que si${\displaystyle X}$es una variable aleatoria cuyo valor esperado${\displaystyle \operatorname {E} (X)}$ está definido, y ${\displaystyle Y}$es cualquier variable aleatoria en el mismo espacio de probabilidad , entonces

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\operatorname {E} (\operatorname {E} (X\mid Y)),}$

es decir, el valor esperado de la valor esperado condicional de${\displaystyle X}$ dado ${\displaystyle Y}$ es el mismo que el valor esperado de ${\displaystyle X}$.

Un caso especial establece que si ${\displaystyle {\left\{A_{i}\right\}}_{i}}$es una partición finita o contable del espacio muestral , entonces

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum _{i}{\operatorname {E} (X\mid A_{i})\operatorname {P} (A_{i})}.}$

Nota: El condicional valores esperados E ( X | Z ) es una variable aleatoria cuyo valor dependerá del valor de Z . Tenga en cuenta que el valor esperado condicional de X dado el evento Z = z es una función de z . Si escribimos E ( X | Z = z ) = g ( z ) entonces la variable aleatoria E ( X | Z ) es g ( Z ). Se aplican comentarios similares a la covarianza condicional.

Ejemplo

Suponga que solo dos fábricas suministran bombillas al mercado. Fábrica${\displaystyle X}$Las bombillas funcionan durante un promedio de 5000 horas, mientras que las de fábrica ${\displaystyle Y}$Las bombillas funcionan durante un promedio de 4000 horas. Se sabe que la fábrica${\displaystyle X}$suministra el 60% del total de bombillas disponibles. ¿Cuál es el período de tiempo esperado durante el que funcionará una bombilla comprada?

Aplicando la ley de la expectativa total, tenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (L)&=\operatorname {E} (L\mid X)\operatorname {P} (X)+\operatorname {E} (L\mid Y)\operatorname {P} (Y)\\[3pt]&=5000(0.6)+4000(0.4)\\[2pt]&=4600\end{aligned}}}$

donde

• ${\displaystyle \operatorname {E} (L)}$ es la vida útil esperada de la bombilla;
• ${\displaystyle \operatorname {P} (X)={6 \over 10}}$ es la probabilidad de que la bombilla comprada haya sido fabricada por la fábrica ${\displaystyle X}$;
• ${\displaystyle \operatorname {P} (Y)={4 \over 10}}$ es la probabilidad de que la bombilla comprada haya sido fabricada por la fábrica ${\displaystyle Y}$;
• ${\displaystyle \operatorname {E} (L\mid X)=5000}$ es la vida útil esperada de una bombilla fabricada por ${\displaystyle X}$;
• ${\displaystyle \operatorname {E} (L\mid Y)=4000}$ es la vida útil esperada de una bombilla fabricada por ${\displaystyle Y}$.

Por tanto, cada bombilla comprada tiene una vida útil prevista de 4600 horas.

Prueba en los casos finitos y contables

Deje que las variables aleatorias ${\displaystyle X}$ y ${\displaystyle Y}$, definidos en el mismo espacio de probabilidad, suponen un conjunto finito o numerablemente infinito de valores finitos. Asumir que${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ está definido, es decir ${\displaystyle \min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty }$. Si${\displaystyle \{A_{i}\}}$ es una partición del espacio de probabilidad ${\displaystyle \Omega }$, luego

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum _{i}{\operatorname {E} (X\mid A_{i})\operatorname {P} (A_{i})}.}$

Prueba.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left(\operatorname {E} (X\mid Y)\right)&=\operatorname {E} {\Bigg [}\sum _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x\mid Y){\Bigg ]}\\[6pt]&=\sum _{y}{\Bigg [}\sum _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x\mid Y=y){\Bigg ]}\cdot \operatorname {P} (Y=y)\\[6pt]&=\sum _{y}\sum _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x,Y=y).\end{aligned}}}$

Si la serie es finita, entonces podemos cambiar las sumas y la expresión anterior se convertirá en

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{x}\sum _{y}x\cdot \operatorname {P} (X=x,Y=y)&=\sum _{x}x\sum _{y}\operatorname {P} (X=x,Y=y)\\[6pt]&=\sum _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x)\\[6pt]&=\operatorname {E} (X).\end{aligned}}}$

Si, por el contrario, la serie es infinita, entonces su convergencia no puede ser condicional , debido al supuesto de que${\displaystyle \min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty .}$ La serie converge absolutamente si ambos ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{+}]}$ y ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{-}]}$ son finitos, y divergen hasta el infinito cuando ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{+}]}$ o ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{-}]}$es infinito. En ambos escenarios, las sumas anteriores pueden intercambiarse sin afectar la suma.

Prueba en el caso general

Dejar ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}$ser un espacio de probabilidad en el que dos sub σ-álgebras ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}\subseteq {\mathcal {G}}_{2}\subseteq {\mathcal {F}}}$están definidos. Para una variable aleatoria${\displaystyle X}$ en tal espacio, la ley de suavizado establece que si ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ está definido, es decir${\displaystyle \min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty }$, luego

${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]=\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{1}]\quad {\text{(a.s.)}}.}$

Prueba . Dado que una expectativa condicional es una derivada de Radon-Nikodym , la verificación de las dos propiedades siguientes establece la ley de suavizado:

• ${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]{\mbox{ is }}{\mathcal {G}}_{1}}$- medible
• ${\displaystyle \int _{G_{1}}\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}Xd\operatorname {P} ,}$ para todos ${\displaystyle G_{1}\in {\mathcal {G}}_{1}.}$

La primera de estas propiedades se cumple por definición de la expectativa condicional. Para probar el segundo,

${\displaystyle {\begin{aligned}\min \left(\int _{G_{1}}X_{+}\,d\operatorname {P} ,\int _{G_{1}}X_{-}\,d\operatorname {P} \right)&\leq \min \left(\int _{\Omega }X_{+}\,d\operatorname {P} ,\int _{\Omega }X_{-}\,d\operatorname {P} \right)\\[4pt]&=\min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty ,\end{aligned}}}$

entonces la integral ${\displaystyle \textstyle \int _{G_{1}}X\,d\operatorname {P} }$ está definido (no es igual ${\displaystyle \infty -\infty }$).

Por tanto, la segunda propiedad se mantiene desde${\displaystyle G_{1}\in {\mathcal {G}}_{1}\subseteq {\mathcal {G}}_{2}}$ implica

${\displaystyle \int _{G_{1}}\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}Xd\operatorname {P} .}$

Corolario. En el caso especial cuando${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}=\{\emptyset ,\Omega \}}$ y ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{2}=\sigma (Y)}$, la ley de suavizado se reduce a

${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid Y]]=\operatorname {E} [X].}$

Prueba de fórmula de partición

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum \limits _{i}\operatorname {E} (X\mid A_{i})\operatorname {P} (A_{i})&=\sum \limits _{i}\int \limits _{\Omega }X(\omega )\operatorname {P} (d\omega \mid A_{i})\cdot \operatorname {P} (A_{i})\\&=\sum \limits _{i}\int \limits _{\Omega }X(\omega )\operatorname {P} (d\omega \cap A_{i})\\&=\sum \limits _{i}\int \limits _{\Omega }X(\omega )I_{A_{i}}(\omega )\operatorname {P} (d\omega )\\&=\sum \limits _{i}\operatorname {E} (XI_{A_{i}}),\end{aligned}}}$

donde ${\displaystyle I_{A_{i}}}$es la función indicadora del conjunto${\displaystyle A_{i}}$.

Si la partición ${\displaystyle {\{A_{i}\}}_{i=0}^{n}}$ es finito, entonces, por linealidad, la expresión anterior se convierte en

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\sum \limits _{i=0}^{n}XI_{A_{i}}\right)=\operatorname {E} (X),}$

y hemos terminado.

Sin embargo, si la partición ${\displaystyle {\{A_{i}\}}_{i=0}^{\infty }}$es infinito, entonces usamos el teorema de convergencia dominado para demostrar que

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\sum \limits _{i=0}^{n}XI_{A_{i}}\right)\to \operatorname {E} (X).}$

De hecho, para cada ${\displaystyle n\geq 0}$,

${\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{n}XI_{A_{i}}\right|\leq |X|I_{\mathop {\bigcup } \limits _{i=0}^{n}A_{i}}\leq |X|.}$

Dado que cada elemento del conjunto ${\displaystyle \Omega }$ cae en una partición específica ${\displaystyle A_{i}}$, es sencillo verificar que la secuencia ${\displaystyle {\left\{\sum _{i=0}^{n}XI_{A_{i}}\right\}}_{n=0}^{\infty }}$ converge puntualmente a${\displaystyle X}$. Por suposición inicial,${\displaystyle \operatorname {E} |X|<\infty }$. La aplicación del teorema de la convergencia dominada produce el resultado deseado.

Ver también

• El teorema fundamental del póquer para una aplicación práctica.
• Ley de probabilidad total
• Ley de la varianza total
• Ley de la covarianza total
• Ley de la acumulación total
• Distribución del producto # expectativa (aplicación de la Ley para probar que la expectativa del producto es producto de las expectativas)

Referencias

1. Weiss, Neil A. (2005). Un curso de probabilidad . Boston: Addison – Wesley. págs. 380–383. ISBN 0-321-18954-X.
2. "Ley de la expectativa iterada | Wiki brillante de matemáticas y ciencias" . shiny.org . Consultado el 28 de marzo de 2018 .
3. Rhee, Chang-han (20 de septiembre de 2011). "Probabilidad y estadística" (PDF) .
4. Wolpert, Robert (18 de noviembre de 2010). "Expectativa condicional" (PDF) .

• Billingsley, Patrick (1995). Probabilidad y medida . Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-00710-2. (Teorema 34.4)
• Christopher Sims , "Notas sobre variables aleatorias, expectativas, densidades de probabilidad y martingalas" , especialmente las ecuaciones (16) a (18)