Tensor de tensión de Cauchy

En mecánica continua , el tensor de tensión de Cauchy , verdadero tensor de tensión , ^[1] o simplemente llamado tensor de tensión es un tensor de segundo orden que lleva el nombre de Augustin-Louis Cauchy . El tensor consta de nueve componentes que definen completamente el estado de tensión en un punto dentro de un material en estado deformado , ubicación o configuración. El tensor se refiere una unidad de longitud vector de dirección n al vector de tracción T ^{( n )} a través de una superficie imaginaria perpendicular a n :${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$${\ Displaystyle \ sigma _ {ij}}$

Las unidades SI tanto del tensor de tensión como del vector de tracción son N / m ² , correspondiente al escalar de tensión. El vector unitario no tiene dimensiones .

El tensor de tensiones de Cauchy obedece a la ley de transformación del tensor ante un cambio en el sistema de coordenadas. Una representación gráfica de esta ley de transformación es el círculo de Mohr para la tensión.

El tensor de tensiones de Cauchy se utiliza para el análisis de tensiones de cuerpos materiales que experimentan pequeñas deformaciones : es un concepto central en la teoría lineal de la elasticidad . Para grandes deformaciones, también llamadas deformaciones finitas , se requieren otras medidas de tensión, como el tensor de tensión de Piola-Kirchhoff , el tensor de tensión de Biot y el tensor de tensión de Kirchhoff .

De acuerdo con el principio de conservación del momento lineal , si el cuerpo continuo está en equilibrio estático, se puede demostrar que los componentes del tensor de tensión de Cauchy en cada punto material del cuerpo satisfacen las ecuaciones de equilibrio ( ecuaciones de movimiento de Cauchy para aceleración cero) . Al mismo tiempo, de acuerdo con el principio de conservación del momento angular , el equilibrio requiere que la suma de momentos con respecto a un punto arbitrario sea cero, lo que lleva a la conclusión de que el tensor de esfuerzos es simétrico., por lo que solo tiene seis componentes de tensión independientes, en lugar de los nueve originales. Sin embargo, en presencia de pares de tensiones, es decir, momentos por unidad de volumen, el tensor de tensiones no es simétrico. Este también es el caso cuando el número de Knudsen está cerca de uno, o el continuo es un fluido no newtoniano, lo que puede conducir a fluidos rotacionalmente no invariantes, como los polímeros .${\ displaystyle K_ {n} \ rightarrow 1}$

Hay ciertos invariantes asociados con el tensor de tensión, cuyos valores no dependen del sistema de coordenadas elegido o del elemento de área sobre el que opera el tensor de tensión. Estos son los tres valores propios del tensor de tensión, que se denominan tensiones principales .

Figura 2.3 Componentes de la tensión en tres dimensiones

Figura 2.1a Distribución interna de fuerzas de contacto y tensiones de par en un diferencial de la superficie interna en un continuo, como resultado de la interacción entre las dos porciones del continuo separadas por la superficie${\ Displaystyle dS}$${\ Displaystyle S}$

Figura 2.1b Distribución interna de fuerzas de contacto y tensiones de par en un diferencial de la superficie interna en un continuo, como resultado de la interacción entre las dos porciones del continuo separadas por la superficie${\ Displaystyle dS}$${\ Displaystyle S}$

Figura 2.1c Vector de tensión en una superficie interna S con vector normal n. Dependiendo de la orientación del plano considerado, el vector de tensión puede no ser necesariamente perpendicular a ese plano, es decir , paralelo a , y puede descomponerse en dos componentes: una componente normal al plano, llamada tensión normal , y otra componente paralela a este plano, llamado esfuerzo cortante .${\ Displaystyle \ mathbf {n}}$ ${\ Displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {n}}}$ ${\ Displaystyle \ tau}$

Figura 2.2. Vector de tensión que actúa sobre un plano con vector unitario normal n .
Una nota sobre la convención de signos: el tetraedro se forma cortando un paralelepípedo a lo largo de un plano arbitrario n . Entonces, la fuerza que actúa sobre el plano n es la reacción que ejerce la otra mitad del paralelepípedo y tiene signo opuesto.

Figura 2.4 Transformación del tensor de tensiones

Figura 4. Cuerpo continuo en equilibrio.

Tensar componentes en un elemento giratorio 2D . Ejemplo de cómo los componentes de tensión varían en las caras (aristas) de un elemento rectangular a medida que varía el ángulo de su orientación. Los esfuerzos principales ocurren cuando los esfuerzos cortantes desaparecen simultáneamente de todas las caras. La orientación en la que esto ocurre da las direcciones principales . En este ejemplo, cuando el rectángulo es horizontal, las tensiones vienen dadas por${\ Displaystyle \ left [{\ begin {matrix} \ sigma _ {11} & \ sigma _ {12} \\\ sigma _ {21} & \ sigma _ {22} \ end {matrix}} \ right] = " \ left [{\ begin {matrix} -10 & 10 \\ 10 & 15 \ end {matrix}} \ right].}$

Figura 6. Planos de tensión octaédricos