La ecuación de la cantidad de movimiento de Cauchy es una ecuación diferencial parcial vectorial presentada por Cauchy que describe el transporte de la cantidad de movimiento no relativista en cualquier continuo . [1]
Ecuación principal
En forma convectiva (o lagrangiana ), la ecuación del momento de Cauchy se escribe como:
dónde
es el campo vectorial de velocidad de flujo , que depende del tiempo y el espacio, (unidad:)
Tenga en cuenta que solo usamos vectores de columna (en el sistema de coordenadas cartesianas ) para mayor claridad, pero la ecuación está escrita usando componentes físicos (que no son covariantes ("columna") ni contravariantes ("fila")). [5] Sin embargo, si elegimos un sistema de coordenadas curvilíneas no ortogonales , entonces deberíamos calcular y escribir ecuaciones en forma covariante ("vectores de fila") o contravariante ("vectores de columna").
Después de un cambio apropiado de variables, también se puede escribir en forma de conservación :
donde j es la densidad de momento en un punto de espacio-tiempo dado, F es el flujo asociado a la densidad de momento y s contiene todas las fuerzas del cuerpo por unidad de volumen.
Derivación diferencial
Comencemos con el principio de conservación de la cantidad de movimiento generalizado que se puede escribir de la siguiente manera: "El cambio en la cantidad de movimiento del sistema es proporcional a la fuerza resultante que actúa sobre este sistema". Se expresa mediante la fórmula: [6]
dónde es el impulso en el tiempo t , es la fuerza promediada sobre . Después de dividir por y pasando al limite obtenemos ( derivado ):
Analicemos cada lado de la ecuación anterior.
Lado derecho
El componente X de las fuerzas que actúan sobre las paredes de un elemento fluido cúbico (verde para paredes superior-inferior; rojo para izquierda-derecha; negro para adelante-atrás).
En el gráfico superior vemos una aproximación de la función (línea azul) usando una diferencia finita (línea amarilla). En el gráfico inferior, vemos "vecindad del punto infinitamente ampliada "(cuadrado púrpura del gráfico superior). En el gráfico inferior, la línea amarilla está completamente cubierta por la azul, por lo que no es visible. En la figura inferior, se han utilizado dos formas derivadas equivalentes: ], y la designación se utilizó.
Las fuerzas superficiales actúan sobre las paredes del elemento fluido cúbico. Para cada pared, el componente X de estas fuerzas se marcó en la figura con un elemento cúbico (en forma de un producto de la tensión y el área de la superficie, p. Ej. con unidades ).
Explicación del valor de las fuerzas (aproximaciones y signos negativos) que actúan sobre las paredes del cubo.
Requiere alguna explicación de por qué la tensión aplicada a las paredes que cubren los ejes de coordenadas toma un signo menos (por ejemplo, para la pared izquierda tenemos ). Para simplificar, centrémonos en la pared izquierda con tensión.. El signo menos se debe al hecho de que un vector normal a esta paredes un vector unitario negativo. Luego, calculamos el vector de estrés por definición, entonces el componente X de este vector es (Usamos un razonamiento similar para las tensiones que actúan en las paredes inferior y posterior, es decir: ).
El segundo elemento que requiere explicación es la aproximación de los valores de tensión que actúan sobre las paredes opuestas a las paredes que recubren los ejes. Centrémonos en la pared de la derecha donde la tensión es una aproximación de la tensión desde la pared izquierda en puntos con coordenadas y es igual a . Esta aproximación resulta de la aplicación de la fórmula de Taylor para la función aproximada, es decir
Porque el valor de es infinitamente menor que el valor de , entonces todos los componentes con en potencias superiores a uno se puede omitir como insignificante. De esta forma obtuvimos la deseada aproximación de tensión en la pared opuesta. Representación más intuitiva del valor de aproximación en punto se ha mostrado en la figura debajo del cubo. Procedemos con un razonamiento similar para las aproximaciones de estrés.
Sumando fuerzas (sus componentes X ) que actúan sobre cada una de las paredes del cubo, obtenemos:
Después de ordenar y realizar un razonamiento similar para los componentes (no se han mostrado en la figura, pero estos serían vectores paralelos a los ejes Y y Z, respectivamente) obtenemos:
Entonces podemos escribirlo en la forma operativa simbólica:
Hay fuerzas de masa que actúan en el interior del volumen de control. Podemos escribirlos usando el campo de aceleración. (por ejemplo, aceleración gravitacional):
Lado izquierdo
Calculemos el impulso del cubo:
Porque asumimos que la masa probada (cubo) es constante en el tiempo, entonces
donde Ω representa el volumen de control. Dado que esta ecuación debe ser válida para cualquier volumen de control, debe ser cierto que el integrando es cero, de ahí se sigue la ecuación del momento de Cauchy. El paso principal (no realizado anteriormente) para derivar esta ecuación es establecer que la derivada del tensor de tensión es una de las fuerzas que constituyen F i . [1]
Formulario de conservación
La ecuación de la cantidad de movimiento de Cauchy también puede expresarse de la siguiente forma:
Ecuación de la cantidad de movimiento de Cauchy (forma de conservación)
simplemente definiendo:
donde j es la densidad de momento en el punto considerado en el continuo (para el cual se cumple la ecuación de continuidad ), F es el flujo asociado a la densidad de momento y s contiene todas las fuerzas del cuerpo por unidad de volumen. u ⊗ u es la díada de la velocidad.
Aquí j y s tienen el mismo número de dimensiones N como la velocidad de flujo y la aceleración de la carrocería, mientras que F , siendo un tensor , tiene N 2 . [nota 1]
En las formas eulerianas, es evidente que la suposición de que no hay tensión desviadora lleva las ecuaciones de Cauchy a las ecuaciones de Euler .
Aceleración convectiva
Un ejemplo de aceleración convectiva. El flujo es constante (independiente del tiempo), pero el fluido se desacelera a medida que desciende por el conducto divergente (asumiendo un flujo compresible subsónico o incompresible).
Una característica importante de las ecuaciones de Navier-Stokes es la presencia de aceleración convectiva: el efecto de la aceleración independiente del tiempo de un flujo con respecto al espacio. Si bien las partículas continuas individuales experimentan una aceleración dependiente del tiempo, la aceleración convectiva del campo de flujo es un efecto espacial, un ejemplo es la aceleración del fluido en una boquilla.
Independientemente del tipo de continuo que se esté tratando, la aceleración convectiva es un efecto no lineal . La aceleración convectiva está presente en la mayoría de los flujos (las excepciones incluyen el flujo incompresible unidimensional), pero su efecto dinámico se ignora en el flujo progresivo (también llamado flujo de Stokes). La aceleración convectiva está representada por la cantidad no lineal u ⋅ ∇ u , que puede interpretarse como ( u ⋅ ∇) u o como u ⋅ (∇ u ) , siendo ∇ u la derivada del tensor del vector velocidad u . Ambas interpretaciones dan el mismo resultado. [7]
Operador de advección vs derivado tensorial
El término de convección se puede escribir como ( u ⋅ ∇) u , donde u ⋅ ∇ es el operador de advección . Esta representación puede contrastarse con la de la derivada del tensor. [7] La derivada del tensor ∇ u es la derivada componente por componente del vector velocidad, definida por [∇ u ] mi = ∂ m v i , de modo que
Forma de cordero
La identidad de cálculo vectorial del producto cruzado de un rizo se mantiene:
donde se usa la notación de subíndice de Feynman ∇ a , lo que significa que el gradiente con subíndice opera solo en el factor a .
Lamb en su famoso libro clásico Hydrodynamics (1895), [8] usó esta identidad para cambiar el término convectivo de la velocidad de flujo en forma rotacional, es decir, sin una derivada tensorial: [9] [ se necesita cita completa ] [10]
donde el vector se llama vector Lamb . La ecuación de la cantidad de movimiento de Cauchy se convierte en:
Usando la identidad:
la ecuación de Cauchy se convierte en:
De hecho, en el caso de un campo conservador externo , al definir su potencial φ :
En el caso de un flujo constante, la derivada del tiempo de la velocidad del flujo desaparece, por lo que la ecuación de la cantidad de movimiento se convierte en:
Y al proyectar la ecuación del momento en la dirección del flujo, es decir, a lo largo de una línea de corriente , el producto cruzado desaparece debido a una identidad de cálculo vectorial del producto escalar triple :
Si el tensor de tensión es isotrópico, solo entra la presión: (donde I es el tensor de identidad), y la ecuación de la cantidad de movimiento de Euler en el caso incompresible estable se convierte en:
En el caso estable incompresible, la ecuación de masa es simplemente:
es decir, la conservación de masa para un flujo constante incompresible establece que la densidad a lo largo de una línea de corriente es constante . Esto conduce a una simplificación considerable de la ecuación de la cantidad de movimiento de Euler:
La conveniencia de definir la altura total para un flujo de líquido no viscoso ahora es evidente:
de hecho, la ecuación anterior se puede escribir simplemente como:
Es decir, el equilibrio de la cantidad de movimiento para un flujo constante, invisible e incompresible en un campo conservador externo establece que la altura total a lo largo de una línea de corriente es constante .
Flujos irrotacionales
La forma Lamb también es útil en el flujo de irritación, donde el rizo de la velocidad (llamado vorticidad ) ω = ∇ × u es igual a cero. En ese caso, el término de convección en reduce a
Destaca
El efecto del estrés en el flujo continuo está representado por la ∇ p y ∇ ⋅ T se términos; estos son gradientes de fuerzas superficiales, análogos a las tensiones en un sólido. Aquí ∇ p es el gradiente de presión y surge de la parte isotrópica del tensor de tensión de Cauchy . Esta parte viene dada por las tensiones normales que ocurren en casi todas las situaciones. La parte anisotrópica del tensor de tensión da lugar a ∇ ⋅ τ , que generalmente describe fuerzas viscosas; para flujo incompresible, esto es solo un efecto de cizallamiento. Por lo tanto, τ es el tensor de tensión desviador , y el tensor de tensión es igual a: [11] [ cita completa necesaria ]
donde I es la matriz identidad en el espacio considerado y τ el tensor de corte.
Todas las ecuaciones de conservación del momento no relativistas, como la ecuación de Navier-Stokes , pueden derivarse comenzando con la ecuación del momento de Cauchy y especificando el tensor de tensión a través de una relación constitutiva . Al expresar el tensor de corte en términos de viscosidad y velocidad del fluido , y suponiendo una densidad y viscosidad constantes, la ecuación del momento de Cauchy conducirá a las ecuaciones de Navier-Stokes . Suponiendo un flujo no viscoso , las ecuaciones de Navier-Stokes pueden simplificarse aún más a las ecuaciones de Euler .
La divergencia del tensor de tensión se puede escribir como
El efecto del gradiente de presión sobre el flujo es acelerar el flujo en la dirección de alta presión a baja presión.
Como está escrito en la ecuación de cantidad de movimiento de Cauchy, los términos de tensión p y τ aún se desconocen, por lo que esta ecuación por sí sola no se puede utilizar para resolver problemas. Además de las ecuaciones del movimiento, la segunda ley de Newton, se necesita un modelo de fuerza que relacione los esfuerzos con el movimiento del flujo. [12] Por esta razón, a menudo se aplican supuestos basados en observaciones naturales para especificar las tensiones en términos de otras variables de flujo, como la velocidad y la densidad.
Fuerzas externas
El campo vectorial f representa las fuerzas corporales por unidad de masa. Por lo general, estos consisten solo en la aceleración de la gravedad , pero pueden incluir otros, como fuerzas electromagnéticas. En los marcos de coordenadas no inerciales, pueden surgir otras "aceleraciones inerciales" asociadas con las coordenadas giratorias .
A menudo, estas fuerzas pueden representarse como el gradiente de alguna cantidad escalar χ , con f = ∇ χ, en cuyo caso se denominan fuerzas conservadoras . La gravedad en la dirección z , por ejemplo, es el gradiente de - ρgz . Debido a que la presión de dicha gravitación surge solo como un gradiente, podemos incluirla en el término de presión como una fuerza corporal h = p - χ . Los términos de presión y fuerza en el lado derecho de la ecuación de Navier-Stokes se convierten en
También es posible incluir influencias externas en el término de estrés. en lugar del término de fuerza corporal. Esto puede incluso incluir tensiones antisimétricas (entradas de momento angular), en contraste con las contribuciones internas generalmente simétricas al tensor de tensiones. [13]
No dimensionalización
Para que las ecuaciones sean adimensionales, es necesario definir una longitud característica r 0 y una velocidad característica u 0 . Estos deben elegirse de modo que las variables adimensionales sean todas de orden uno. Se obtienen así las siguientes variables adimensionales:
La sustitución de estas relaciones invertidas en las ecuaciones de momento de Euler produce:
y dividiendo por el primer coeficiente:
Ahora definiendo el número de Froude :
el número de Euler :
y el coeficiente de fricción cutánea o el que se suele denominar coeficiente de `` arrastre '' en el campo de la aerodinámica:
pasando respectivamente a las variables conservadoras , es decir, la densidad de momento y la densidad de fuerza :
las ecuaciones finalmente se expresan (ahora omitiendo los índices):
Ecuación de impulso de Cauchy ( forma conservadora adimensional )
Las ecuaciones de Cauchy en el límite de Froude Fr → ∞ (correspondiente a un campo externo despreciable) se denominan ecuaciones de Cauchy libres:
Ecuación de impulso de Cauchy libre ( forma conservadora adimensional )
y eventualmente pueden ser ecuaciones de conservación . El límite de números de Froude altos (campo externo bajo) es, por lo tanto, notable para tales ecuaciones y se estudia con la teoría de perturbaciones .
Finalmente en forma convectiva las ecuaciones son:
Ecuación de cantidad de movimiento de Cauchy ( forma convectiva adimensional )
Formas convectivas explícitas 3D
Coordenadas cartesianas 3D
Para tensores de tensión asimétricos, las ecuaciones en general adoptan las siguientes formas: [2] [3] [4] [14]
Coordenadas cilíndricas 3D
A continuación, escribimos la ecuación principal en forma de tau de presión asumiendo que el tensor de tensión es simétrico ():
Ver también
Ecuaciones de Euler (dinámica de fluidos)
Ecuaciones de Navier-Stokes
Ecuaciones de Burnett
Expansión Chapman – Enskog
Notas
^ En 3D por ejemplo, con respecto a algún sistema de coordenadas, el vector j tiene 3 componentes, mientras que los tensores σ y F tienen 9 (3 × 3), por lo que las formas explícitas escritas como matrices serían:
Sin embargo, tenga en cuenta que si es simétrico, F solo contendrá 6 grados de libertad . Y la simetría de F es equivalente a la simetría de σ (que estará presente para los tensores de tensión de Cauchy más comunes ), ya que las díadas de vectores con ellos mismos son siempre simétricas.
Referencias
↑ a b Acheson, DJ (1990). Dinámica de fluidos elemental . Prensa de la Universidad de Oxford . pag. 205. ISBN 0-19-859679-0.
^ a bBerdahl, CI; Strang, WZ (1986). "Comportamiento de un tensor de estrés asimétrico influenciado por la vorticidad en el flujo de fluido" (PDF) . LABORATORIOS AERONÁUTICOS AIR FORCE WRIGHT. pag. 13 (Debajo de la ecuación principal, los autores describen).
^ a bPapanastasiou, Tasos C .; Georgiou, Georgios C .; Alexandrou, Andreas N. (2000). Flujo de fluido viscoso (PDF) . Prensa CRC. pag. 66,68,143,182 (Los autores utilizan). ISBN 0-8493-1606-5.
^ a bDeen, William M. (2016). Introducción a la Mecánica de Fluidos de la Ingeniería Química . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 133-136. ISBN 978-1-107-12377-9.
^David A. Clarke (2011). "Una introducción al cálculo de tensor" (PDF) . pag. 11 (pdf 15).Mantenimiento de CS1: utiliza el parámetro de autores ( enlace )
^Anderson, Jr., John D. (1995). Dinámica de fluidos computacional (PDF) . Nueva York: McGraw-Hill. págs. 61–64. ISBN 0-07-001685-2.
^ a bEmanuel, G. (2001). Dinámica de fluidos analítica (segunda ed.). Prensa CRC. págs. 6–7. ISBN 0-8493-9114-8.
^Cordero, Horacio. "Hidrodinámica" .
^ Véase Batchelor (1967), §3.5, p. 160.
^Weisstein, Eric W. "Derivada convectiva" . MathWorld .
^ Batchelor (1967) p. 142.
^Feynman, Richard P .; Leighton, Robert B .; Sands, Matthew (1963), The Feynman Lectures on Physics , Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, vol. 1, §9–4 y §12–1, ISBN 0-201-02116-1