En las matemáticas de la probabilidad , un núcleo de transición o núcleo es una función en matemáticas que tiene diferentes aplicaciones. Los núcleos se pueden utilizar, por ejemplo, para definir medidas aleatorias o procesos estocásticos . El ejemplo más importante de núcleos son los núcleos de Markov .
Dejar , Ser dos espacios medibles . Una función
se llama un kernel (de transición) de a si se cumplen las dos condiciones siguientes: [1]
- Para cualquier fijo , el mapeo
- es - medible ;
- Por cada fijo , el mapeo
- es una medida en .
Los núcleos de transición generalmente se clasifican según las medidas que definen. Esas medidas se definen como
con
para todos y todo . Con esta notación, el kernelse llama [1] [2]
- un núcleo subestocástico , un núcleo de subprobabilidad o un núcleo sub-Markov si todosson medidas de subprobabilidad
- un kernel de Markov , kernel estocástico o kernel de probabilidad si todosson medidas de probabilidad
- un núcleo finito si todoson medidas finitas
- a -núcleo finito si todo están -medidas finitas
- un núcleo s-finito es un núcleo que se puede escribir como una suma contable de núcleos finitos
- un uniformemente-núcleo finito si hay a lo sumo innumerables conjuntos medibles en con para todos y todo .
En esta sección, deje , y ser espacios medibles y denotar el producto σ-álgebra de y con
Producto de granos
Definición
Dejar ser un kernel s-finito de a y ser un kernel s-finito de a . Entonces el productode los dos núcleos se define como [3] [4]
para todos .
Propiedades y comentarios
El producto de dos núcleos es un núcleo de a . De nuevo es un kernel s-finito y es un-núcleo finito si y están -núcleos finitos. El producto de los granos también es asociativo , lo que significa que satisface
para cualquiera de los tres núcleos s-finitos adecuados .
El producto también está bien definido si es un kernel de a . En este caso, se trata como un kernel de a que es independiente de . Esto es equivalente a configurar
para todos y todo . [4] [3]
Composición de granos
Definición
Dejar ser un kernel s-finito de a y un núcleo s-finito de a . Entonces la composicionde los dos núcleos se define como [5] [3]
para todos y todo .
Propiedades y comentarios
La composición es un núcleo de a eso es nuevamente s-finito. La composición de los granos es asociativa , lo que significa que satisface
para cualquiera de los tres núcleos s-finitos adecuados . Al igual que el producto de los granos, la composición también está bien definida si es un kernel de a .
Una notación alternativa es para la composición es [3]
Dejar ser el conjunto de funciones medibles positivas en .
Cada kernel de a se puede asociar con un operador lineal
dado por [6]
La composición de estos operadores es compatible con la composición de los granos, es decir [3]