Trapezoide

Cuadrilátero convexo con solo un par de lados paralelos

Para otros usos, consulte Trapezoide (desambiguación) y Trapecio (desambiguación) .

Trapecio (AmE) Trapecio (BrE)
Trapezoide o trapecio
Tipo	cuadrilátero
Aristas y vértices	4
Área	${\displaystyle {\tfrac {a+b}{2}}h}$
Propiedades	convexo

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En la geometría euclidiana , una convexa cuadrilátero con al menos un par de paralelas lados se conoce como un trapecio ( / t r ə p i z i ə m / ) en Inglés fuera de Norteamérica, sino como un trapecio ^{[1] [2 ]} ( / t r æ p ə z ɔɪ d / ) en América y el Inglés canadiense . Los lados paralelos se llaman bases.del trapezoide y los otros dos lados se llaman patas o lados laterales (si no son paralelos; de lo contrario, hay dos pares de bases). Un trapezoide escaleno es un trapezoide sin lados de igual medida, ^[3] en contraste con los casos especiales a continuación.

Etimología

El término trapecio se ha utilizado en inglés desde 1570, del latín tardío trapezium , del griego τραπέζιον ( trapézion ), literalmente "una pequeña mesa", un diminutivo de τράπεζα ( trápeza ), "una mesa", en sí mismo de τετράς ( tetrás ) , "cuatro" + πέζα ( péza ), "un pie; final, borde, borde". ^[4]

El primer uso registrado de la palabra griega traducida como trapezoide (τραπεζοειδή, trapezoeidé , "similar a una mesa") fue por Marinus Proclus ^{[ dudoso - discutir ]} (412 a 485 dC) en su Comentario sobre el primer libro de los Elementos de Euclides . ^[5]

Este artículo utiliza el término trapezoide en el sentido actual en Estados Unidos y Canadá. En muchos idiomas también utilizando una palabra derivada del griego, la forma utilizada es la más cercana al trapecio , no trapezoide (por ejemplo Francés trapèze , italiano trapecio , portugués trapézio , español trapecio , alemán Trapez , Ucrania "трапеція").

Trapecio vs trapezoide

El término trapezoide se definió una vez como un cuadrilátero sin lados paralelos en Gran Bretaña y en otros lugares. El Oxford English Dictionary (OED) dice "A menudo llamado por escritores ingleses en el siglo XIX". ^[6] Según el OED, el sentido de una figura sin lados paralelos es el significado por el que Proclus introdujo el término "trapezoide". Esto se conserva en el trapézoïde francés , ^[7] trapezoide alemán y en otros idiomas. Sin embargo, este sentido particular se considera obsoleto.

Un trapecio en el sentido de Proclus es un cuadrilátero que tiene un par de sus lados opuestos paralelos. Este fue el sentido específico en Inglaterra en los siglos XVII y XVIII, y nuevamente el que prevaleció en el uso reciente fuera de América del Norte. Un trapecio como cualquier cuadrilátero más general que un paralelogramo es el sentido del término en Euclides .

Confusamente, la palabra trapecio se usó a veces en Inglaterra desde c. 1800 a c. 1875, para denotar un cuadrilátero irregular que no tiene lados paralelos. Esto ahora está obsoleto en Inglaterra, pero continúa en América del Norte. Sin embargo, esta forma es más común (y menos confusa) simplemente llamada cuadrilátero irregular. ^{[8] [9]}

Definición inclusiva vs exclusiva

Existe cierto desacuerdo sobre si los paralelogramos , que tienen dos pares de lados paralelos, deben considerarse trapezoides. Algunos definen un trapezoide como un cuadrilátero que tiene solo un par de lados paralelos (la definición exclusiva), excluyendo así los paralelogramos. ^[10] Otros ^[11] definen un trapezoide como un cuadrilátero con al menos un par de lados paralelos (la definición inclusiva ^[12] ), lo que hace que el paralelogramo sea un tipo especial de trapecio. La última definición es consistente con sus usos en matemáticas superiores como el cálculo.. Este artículo usa la definición inclusiva y considera los paralelogramos como casos especiales de un trapezoide. Esto también se defiende en la taxonomía de cuadriláteros .

Según la definición inclusiva, todos los paralelogramos (incluidos rombos , rectángulos y cuadrados ) son trapecios. Los rectángulos tienen simetría de espejo en los bordes medios; los rombos tienen simetría especular en los vértices, mientras que los cuadrados tienen simetría especular tanto en los bordes medios como en los vértices.

Casos especiales

Casos especiales trapezoidales. Las figuras naranjas también califican como paralelogramos.

Un trapezoide derecho (también llamado trapezoide de ángulo recto ) tiene dos ángulos rectos adyacentes . ^{[11] Los} trapezoides derechos se utilizan en la regla trapezoidal para estimar áreas bajo una curva.

Un trapezoide agudo tiene dos ángulos agudos adyacentes en su borde de base más largo , mientras que un trapezoide obtuso tiene un ángulo agudo y otro obtuso en cada base .

Un trapezoide isósceles es un trapezoide donde los ángulos de la base tienen la misma medida. Como consecuencia, los dos catetos también tienen la misma longitud y tienen simetría de reflexión . Esto es posible para trapezoides agudos o trapezoides rectos (rectángulos).

Un paralelogramo es un trapezoide con dos pares de lados paralelos. Un paralelogramo tiene una simetría rotacional central doble (o simetría de reflexión puntual ). Es posible para trapezoides obtusos o trapezoides rectos (rectángulos).

Un trapezoide tangencial es un trapezoide que tiene un círculo .

Un cuadrilátero de Saccheri es similar a un trapezoide en el plano hiperbólico, con dos ángulos rectos adyacentes, mientras que es un rectángulo en el plano euclidiano. Un cuadrilátero de Lambert en el plano hiperbólico tiene 3 ángulos rectos.

Condición de existencia

Cuatro longitudes a , c , b , d pueden constituir los lados consecutivos de un trapecio sin paralelogramo con a y b paralelos solo cuando ^[13]

${\displaystyle \displaystyle |d-c|<|b-a|<d+c.}$

El cuadrilátero es un paralelogramo cuando , pero es un cuadrilátero ex-tangencial (que no es un trapezoide) cuando . ^{[14] : pág. 35}${\displaystyle d-c=b-a=0}$${\displaystyle |d-c|=|b-a|\neq 0}$

Caracterizaciones

Dado un cuadrilátero convexo, las siguientes propiedades son equivalentes y cada una implica que el cuadrilátero es un trapezoide:

• Tiene dos ángulos adyacentes que son suplementarios , es decir, suman 180 grados .
• El ángulo entre un lado y una diagonal es igual al ángulo entre el lado opuesto y la misma diagonal.
• Las diagonales se cortan mutuamente en la misma proporción (esta proporción es la misma que entre las longitudes de los lados paralelos).
• Las diagonales cortan el cuadrilátero en cuatro triángulos, de los cuales un par opuesto es similar .
• Las diagonales cortan el cuadrilátero en cuatro triángulos, de los cuales un par opuesto tiene áreas iguales. ^{[14] : Prop.5}
• El producto de las áreas de los dos triángulos formados por una diagonal es igual al producto de las áreas de los dos triángulos formados por la otra diagonal. ^{[14] : Thm.6}
• Las áreas S y T de algunos dos triángulos opuestos de los cuatro triángulos formados por las diagonales satisfacen la ecuación

${\displaystyle {\sqrt {K}}={\sqrt {S}}+{\sqrt {T}},}$

donde K es el área del cuadrilátero. ^{[14] : Thm.8}

• Los puntos medios de dos lados opuestos y la intersección de las diagonales son colineales . ^{[14] : Thm.15}
• Los ángulos del cuadrilátero ABCD satisfacen ^{[14] : p. 25}${\displaystyle \sin A\sin C=\sin B\sin D.}$
• Los cosenos de dos ángulos adyacentes suman 0, al igual que los cosenos de los otros dos ángulos. ^{[14] : pág. 25}
• Las cotangentes de dos ángulos adyacentes suman 0, al igual que las cotangentes de los otros dos ángulos adyacentes. ^{[14] : pág. 26}
• Un bimediano divide el cuadrilátero en dos cuadriláteros de áreas iguales. ^{[14] : pág. 26}
• El doble de la longitud del bimediano que conecta los puntos medios de dos lados opuestos es igual a la suma de las longitudes de los otros lados. ^{[14] : pág. 31}

Además, las siguientes propiedades son equivalentes, y cada uno implica que los lados opuestos a y b son paralelas:

• Los lados consecutivos a , c , b , dy las diagonales p , q satisfacen la ecuación ^{[14] : Cor.11}

${\displaystyle p^{2}+q^{2}=c^{2}+d^{2}+2ab.}$

• La distancia v entre los puntos medios de las diagonales satisface la ecuación ^{[14] : Teo.12}

${\displaystyle v={\frac {|a-b|}{2}}.}$

Segmento medio y altura

El segmento medio (también llamado mediana o línea media) de un trapezoide es el segmento que une los puntos medios de las piernas. Es paralelo a las bases. Su longitud m es igual a la media de las longitudes de las bases a y b del trapecio, ^[11]

${\displaystyle m={\frac {a+b}{2}}.}$

El segmento medio de un trapezoide es uno de los dos bimedianos (el otro bimediano divide el trapezoide en áreas iguales).

La altura (o altitud) es la distancia perpendicular entre las bases. En el caso de que las dos bases tengan diferentes longitudes ( a ≠ b ), la altura de un trapezoide h se puede determinar por la longitud de sus cuatro lados usando la fórmula ^[11]

${\displaystyle h={\frac {\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)}}{2|b-a|}}}$

donde c y d son las longitudes de las piernas.

Área

El área K de un trapezoide viene dada por ^[11]

${\displaystyle K={\frac {a+b}{2}}\cdot h=mh}$

donde un y b son las longitudes de los lados paralelos, h es la altura (la distancia perpendicular entre estos lados), y m es la media aritmética de las longitudes de los dos lados paralelos. En 499 d. C. Aryabhata , un gran matemático - astrónomo de la época clásica de las matemáticas y la astronomía indias , utilizó este método en el Aryabhatiya (sección 2.8). Esto da como caso especial la conocida fórmula para el área de un triángulo, al considerar un triángulo como un trapezoide degenerado en el que uno de los lados paralelos se ha reducido a un punto.

El matemático indio del siglo VII Bhāskara I derivó la siguiente fórmula para el área de un trapezoide con lados consecutivos a , c , b , d :

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}(a+b){\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left((b-a)+{\frac {c^{2}-d^{2}}{b-a}}\right)^{2}}}}$

donde un y b son paralelos y b > una . ^[15] Esta fórmula se puede factorizar en una versión más simétrica ^[11]

${\displaystyle K={\frac {a+b}{4|b-a|}}{\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)}}.}$

Cuando uno de los lados paralelos se ha reducido a un punto (digamos a = 0), esta fórmula se reduce a la fórmula de Heron para el área de un triángulo.

Otra fórmula equivalente para el área, que se parece más a la fórmula de Heron, es ^[11]

${\displaystyle K={\frac {a+b}{|b-a|}}{\sqrt {(s-b)(s-a)(s-b-c)(s-b-d)}},}$

donde es el semiperímetro del trapezoide. (Esta fórmula es similar a la fórmula de Brahmagupta , pero se diferencia de ella en que un trapezoide puede no ser cíclico (inscrito en un círculo). La fórmula también es un caso especial de la fórmula de Bretschneider para un cuadrilátero general ).${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d)}$

De la fórmula de Bretschneider, se sigue que

${\displaystyle K={\sqrt {{\frac {(ab^{2}-a^{2}b-ad^{2}+bc^{2})(ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2})}{(2(b-a))^{2}}}-\left({\frac {b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}}{4}}\right)^{2}}}.}$

La línea que une los puntos medios de los lados paralelos biseca el área.

Diagonales

Las longitudes de las diagonales son ^[11]

${\displaystyle p={\sqrt {\frac {ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2}}{b-a}}},}$

${\displaystyle q={\sqrt {\frac {ab^{2}-a^{2}b-ad^{2}+bc^{2}}{b-a}}}}$

donde una es la base corta, b es la base de largo, y c y d son las patas del trapezoide.

Si el trapezoide se divide en cuatro triángulos por sus diagonales AC y BD (como se muestra a la derecha), intersectando en O , entonces el área de AOD es igual a la de BOC , y el producto de las áreas de AOD y BOC es igual a la de AOB y COD . La razón de las áreas de cada par de triángulos adyacentes es la misma que entre las longitudes de los lados paralelos. ^[11]${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \triangle }$

Deje que el trapezoide tenga los vértices A , B , C y D en secuencia y los lados paralelos AB y DC . Sea E la intersección de las diagonales, y sea F en el lado DA y G en el lado BC de modo que FEG sea ​​paralelo a AB y CD . Entonces FG es la media armónica de AB y DC : ^[16]

${\displaystyle {\frac {1}{FG}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{AB}}+{\frac {1}{DC}}\right).}$

La línea que pasa por el punto de intersección de los lados extendidos no paralelos y el punto de intersección de las diagonales biseca cada base. ^[17]

Otras propiedades

El centro de área (centro de masa para una lámina uniforme ) se encuentra a lo largo del segmento de línea que une los puntos medios de los lados paralelos, a una distancia perpendicular x desde el lado más largo b dada por ^[18]

${\displaystyle x={\frac {h}{3}}\left({\frac {2a+b}{a+b}}\right).}$

El centro del área divide este segmento en la relación (cuando se toma del lado corto al largo) ^{[19] : p. 862}

${\displaystyle {\frac {a+2b}{2a+b}}.}$

Si las bisectrices de los ángulos A y B se intersecan en P , y las bisectrices de los ángulos C y D se intersecan en Q , entonces ^[17]

${\displaystyle PQ={\frac {|AD+BC-AB-CD|}{2}}.}$

Aplicaciones

El Templo de Dendur en el Museo Metropolitano de Arte de Nueva York

Arquitectura

En arquitectura, la palabra se usa para referirse a puertas, ventanas y edificios simétricos construidos más anchos en la base, estrechándose hacia la parte superior, en estilo egipcio. Si estos tienen lados rectos y esquinas angulares afiladas, sus formas suelen ser trapezoides isósceles . Este era el estilo estándar para las puertas y ventanas del Inca . ^[20]

Geometría

El problema de las escaleras cruzadas es el problema de encontrar la distancia entre los lados paralelos de un trapezoide derecho, dadas las longitudes diagonales y la distancia desde el lado perpendicular a la intersección diagonal.

Biología

Ejemplo de un pronoto trapeciiforme delineado en un insecto spurge

En morfología , taxonomía y otras disciplinas descriptivo en el que es necesario un término para tales formas, términos tales como trapezoidal o trapezoidal comúnmente son útiles en las descripciones de órganos o formas particulares. ^[21]

Los miembros del KKK se excitan severamente al ver un trapezoide por razones desconocidas, tal vez tenga algo que ver con esos sombreros puntiagudos, o el hecho de que todos los trapezoides están cargando volquetes absolutos. Nunca sabremos la verdad.

Ingeniería informática

En la ingeniería informática, específicamente la lógica digital y la arquitectura informática, los trapecios se utilizan normalmente para simbolizar multiplexores . Los multiplexores son elementos lógicos que seleccionan entre múltiples elementos y producen una única salida basada en una señal de selección. Los diseños típicos emplearán trapezoides sin indicar específicamente que son multiplexores, ya que son universalmente equivalentes.

Ver también

• Número cortés , también conocido como número trapezoidal
• Cuña , poliedro definido por dos triángulos y tres caras trapezoidales.

Referencias

1. http://www.mathopenref.com/trapezoid.html Definición de Mathopenref
2. AD Gardiner y CJ Bradley, Geometría euclidiana plana: teoría y problemas , UKMT, 2005, p. 34.
3. Tipos de cuadriláteros
4. Πέζα se dice que es el dórico y forma Arcadic de πούς "pie", pero registra sólo en el sentido de "empeine [de un pie humano]", de donde el "borde, frontera" significado. τράπεζα "table" es homérico. Henry George Liddell, Robert Scott, Henry Stuart Jones, A Greek-English Lexicon , Oxford, Clarendon Press (1940), sv πέζα , τράπεζα .
5. Entrada del Oxford English Dictionary en trapezoide . ^{[ enlace muerto ]}
6. Entradas del Oxford English Dictionary para trapezoide y trapecio.
7. "Definición de Larousse para trapézoïde" .
8. Cámaras del siglo XXI diccionario trapezoide
9. "Definición americana de 1913 de trapecio" . Diccionario en línea Merriam-Webster . Consultado el 10 de diciembre de 2007 .
10. "Definición de la escuela americana de" math.com " " . Consultado el 14 de abril de 2008 .
11. Weisstein, Eric W. "Trapezoide" . MathWorld .
12. Trapezoides, [1] . Consultado el 24 de febrero de 2012.
13. Pregúntele al Dr. Math (2008), "Área del trapezoide dadas solo las longitudes laterales" .
14. Martin Josefsson, "Caracterizaciones de trapecios" , Forum Geometricorum, 13 (2013) 23-35.
15. TK Puttaswamy, Logros matemáticos de los matemáticos indios premodernos , Elsevier, 2012, p. 156.
16. GoGeometry , [2] . Consultado el 8 de julio de 2012.
17. Owen Byer, Felix Lazebnik y Deirdre Smeltzer, Métodos para la geometría euclidiana , Asociación Matemática de América, 2010, p. 55.
18. efunda , Trapezoide general, [3] . Consultado el 9 de julio de 2012.
19. Tom M. Apostol y Mamikon A. Mnatsakanian (diciembre de 2004). "Figuras circunscribiendo círculos" (PDF) . American Mathematical Monthly . 111 (10): 853–863. doi : 10.2307 / 4145094 . JSTOR 4145094 . Consultado el 6 de abril de 2016 .  
20. "Machu Picchu Ciudad Perdida de los Incas - Geometría Inca" . gogeometry.com . Consultado el 13 de febrero de 2018 .
21. John L. Capinera (11 de agosto de 2008). Enciclopedia de entomología . Springer Science & Business Media. págs. 386, 1062, 1247. ISBN 978-1-4020-6242-1.

Lectura adicional

• D. Fraivert, A. Sigler y M. Stupel: propiedades comunes de trapezoides y cuadriláteros convexos

Enlaces externos

• Trapezium en Encyclopedia of Mathematics .
• Weisstein, Eric W. "Trapezoide derecho" . MathWorld .
• Definición de trapezoide   Área de un trapezoide   Mediana de un trapezoide Con animaciones interactivas
• Trapezoide (Norteamérica) en elsy.at: curso animado (construcción, circunferencia, área)
• Regla trapezoidal sobre métodos numéricos para pregrado de Stem
• Autar Kaw y E. Eric Kalu, Métodos numéricos con aplicaciones , (2008)