En geometría , un mosaico uniforme es una teselación del plano por caras de polígono regulares con la restricción de ser transitivo por vértice .
Pueden existir teselaciones uniformes tanto en el plano euclidiano como en el plano hiperbólico . Los mosaicos uniformes están relacionados con los poliedros uniformes finitos que pueden considerarse mosaicos uniformes de la esfera .
La mayoría de los mosaicos uniformes se pueden hacer a partir de una construcción de Wythoff comenzando con un grupo de simetría y un punto generador singular dentro del dominio fundamental . Un grupo de simetría plana tiene un dominio fundamental poligonal y puede ser representado por el nombre del grupo representado por el orden de los espejos en los vértices secuenciales.
Un triángulo de dominio fundamental es ( p q r ) y un triángulo rectángulo ( p q 2), donde p , q , r son números enteros mayores que 1. El triángulo puede existir como un triángulo esférico , un triángulo plano euclidiano o un hiperbólica triángulo plano, en función de los valores de p , q y r .
Hay una serie de esquemas simbólicos para nombrar estas figuras, a partir de un símbolo de Schläfli modificado para dominios de triángulos rectángulos: ( p q 2) → { p , q }. El diagrama de Coxeter-Dynkin es un gráfico triangular con p , q , r etiquetados en los bordes. Si r = 2, el gráfico es lineal ya que los nodos de dominio de orden 2 no generan reflejos. El símbolo de Wythoff toma los 3 números enteros y los separa con una barra vertical (|). Si el punto generador está fuera del espejo opuesto a un nodo de dominio, se da antes de la barra.
Finalmente, los mosaicos se pueden describir por su configuración de vértice , la secuencia de polígonos alrededor de cada vértice.
Todos los mosaicos uniformes se pueden construir a partir de varias operaciones aplicadas a los mosaicos regulares . Estas operaciones, como las nombró Norman Johnson, se denominan truncamiento (corte de vértices), rectificación (corte de vértices hasta que desaparezcan los bordes) y cantelación (corte de bordes). La omnitruncación es una operación que combina truncamiento y cantelación. El desaire es una operación de truncamiento alternativo de la forma omnitruncada. (Consulte Operadores de construcción de poliedro uniforme # Wythoff para obtener más detalles).
Grupos de Coxeter
Los grupos de Coxeter para el plano definen la construcción de Wythoff y se pueden representar mediante diagramas de Coxeter-Dynkin :
Para grupos con pedidos de números enteros, que incluyen:
Simetría orbifold | Grupo Coxeter | Diagrama de Coxeter | notas | ||
---|---|---|---|---|---|
Compacto | |||||
* 333 | (3 3 3) | [3 [3] ] | 3 formas reflectantes, 1 desaire | ||
* 442 | (4 4 2) | [4,4] | 5 formas reflectantes, 1 desaire | ||
* 632 | (6 3 2) | [6,3] | 7 formas reflectantes, 1 desaire | ||
* 2222 | (∞ 2 ∞ 2) | × | [∞, 2, ∞] | 3 formas reflectantes, 1 desaire | |
No compacto ( friso ) | |||||
* ∞∞ | (∞) | [∞] | |||
* 22∞ | (2 2 ∞) | × | [∞, 2] | 2 formas reflectantes, 1 chata |
Simetría orbifold | Grupo Coxeter | Diagrama de Coxeter | notas | |
---|---|---|---|---|
Compacto | ||||
* pq2 | (pq 2) | [p, q] | 2 (p + q) | |
* pqr | (pqr) | [(p, q, r)] | pq + pr + qr | |
Paracompacto | ||||
* ∞p2 | (p ∞ 2) | [p, ∞] | p> = 3 | |
* ∞pq | (pq ∞) | [(p, q, ∞)] | p, q> = 3, p + q> 6 | |
* ∞∞p | (p ∞ ∞) | [(p, ∞, ∞)] | p> = 3 | |
* ∞∞∞ | (∞ ∞ ∞) | [(∞, ∞, ∞)] |
Azulejos uniformes del plano euclidiano.
Hay grupos de simetría en el plano euclidiano construidos a partir de triángulos fundamentales: (4 4 2), (6 3 2) y (3 3 3). Cada uno está representado por un conjunto de líneas de reflexión que dividen el plano en triángulos fundamentales.
Estos grupos de simetría crean 3 mosaicos regulares y 7 semirregulares. Varias de las teselaciones semirregulares se repiten a partir de diferentes constructores de simetría.
Un grupo de simetría prismática representado por (2 2 2 2) representa por dos conjuntos de espejos paralelos, que en general pueden tener un dominio fundamental rectangular. No genera nuevos mosaicos.
Otro grupo de simetría prismática representado por (∞ 2 2) que tiene un dominio fundamental infinito. Construye dos mosaicos uniformes, el prisma apeirogonal y el antiprisma apeirogonal .
El apilamiento de las caras finitas de estos dos mosaicos prismáticos construye un mosaico uniforme no wythoffiano del plano. Se llama mosaico triangular alargado , compuesto por capas alternas de cuadrados y triángulos.
Triángulos fundamentales de ángulo recto: ( p q 2)
( p q 2) | Fondo. triangulos | Padre | Truncado | Rectificado | Bitruncado | Birectificado (dual) | Cantelado | Omnitruncado ( Cantitruncado ) | Desaire |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Símbolo de Wythoff | q | p 2 | 2 q | pag | 2 | p q | 2 p | q | p | q 2 | p q | 2 | p q 2 | | | p q 2 | |
Símbolo de Schläfli | { p , q } | t { p , q } | r {p, q} | 2t {p, q} = t {q, p} | 2r {p, q} = {q, p} | rr {p, q} | tr {p, q} | sr {p, q} | |
Diagrama de Coxeter | |||||||||
Configuración de vértice. | p q | q.2p.2p | (pq) 2 | pag. 2q.2q | q p | pag. 4.q.4 | 4.2p.2q | 3.3.p. 3.q | |
Azulejos cuadrados (4 4 2) | {4,4} | 4.8.8 | 4.4.4.4 | 4.8.8 | {4,4} | 4.4.4.4 | 4.8.8 | 3.3.4.3.4 | |
Azulejos hexagonales (6 3 2) | {6,3} | 3.12.12 | 3.6.3.6 | 6.6.6 | {3,6} | 3.4.6.4 | 4.6.12 | 3.3.3.3.6 |
Triángulos fundamentales generales: (pqr)
Símbolo Wythoff (pqr) | Fondo. triangulos | q | pr | rq | pag | r | pq | rp | q | p | qr | pq | r | pqr | | | pqr |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Diagrama de Coxeter | |||||||||
Configuración de vértice. | (pq) r | r.2p.q.2p | (pr) q | q.2r.p. 2r | (qr) p | q.2r.p. 2r | r.2q.p. 2q | 3.r.3.q.3.p | |
Triangular (3 3 3) | (3.3) 3 | 3.6.3.6 | (3.3) 3 | 3.6.3.6 | (3.3) 3 | 3.6.3.6 | 6.6.6 | 3.3.3.3.3.3 |
Dominios fundamentales no simples
El único dominio fundamental posible en el espacio euclidiano 2 que no es simplex es el rectángulo (∞ 2 ∞ 2), con el diagrama de Coxeter :. Todas las formas generadas a partir de él se convierten en un mosaico cuadrado .
Mosaicos uniformes del plano hiperbólico
Hay infinitos mosaicos uniformes de polígonos regulares convexos en el plano hiperbólico , cada uno basado en un grupo de simetría reflectante diferente (pqr).
Aquí se muestra una muestra con una proyección de disco de Poincaré .
El diagrama de Coxeter-Dynkin se presenta en forma lineal, aunque en realidad es un triángulo, con el segmento final r que se conecta al primer nodo.
Existen más grupos de simetría en el plano hiperbólico con dominios fundamentales cuadriláteros que comienzan con (2 2 2 3), etc., que pueden generar nuevas formas. También hay dominios fundamentales que colocan los vértices en el infinito, como (∞ 2 3), etc.
Triángulos fundamentales de ángulo recto: ( p q 2)
(pq 2) | Fondo. triangulos | Padre | Truncado | Rectificado | Bitruncado | Birectificado (dual) | Cantelado | Omnitruncado ( Cantitruncado ) | Desaire |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Símbolo de Wythoff | q | p 2 | 2 q | pag | 2 | pq | 2 p | q | p | q 2 | pq | 2 | pq 2 | | | pq 2 | |
Símbolo de Schläfli | t {p, q} | t {p, q} | r {p, q} | 2t {p, q} = t {q, p} | 2r {p, q} = {q, p} | rr {p, q} | tr {p, q} | sr {p, q} | |
Diagrama de Coxeter | |||||||||
Figura de vértice | p q | (q.2p.2p) | (pqpq) | (pág. 2q.2q) | q p | (pág. 4.q.4) | (4.2p.2q) | (3.3.p. 3.q) | |
(5 4 2) | V4.8.10 | {5,4} | 4.10.10 | 4.5.4.5 | 5.8.8 | {4,5} | 4.4.5.4 | 4.8.10 | 3.3.4.3.5 |
(5 5 2) | V4.10.10 | {5,5} | 5.10.10 | 5.5.5.5 | 5.10.10 | {5,5} | 5.4.5.4 | 4.10.10 | 3.3.5.3.5 |
(7 3 2) | V4.6.14 | {7,3} | 3.14.14 | 3.7.3.7 | 7.6.6 | {3,7} | 3.4.7.4 | 4.6.14 | 3.3.3.3.7 |
(8 3 2) | V4.6.16 | {8,3} | 3.16.16 | 3.8.3.8 | 8.6.6 | {3,8} | 3.4.8.4 | 4.6.16 | 3.3.3.3.8 |
Triángulos fundamentales generales (pqr)
Símbolo Wythoff (pqr) | Fondo. triangulos | q | pr | rq | pag | r | pq | rp | q | p | qr | pq | r | pqr | | | pqr |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Diagrama de Coxeter | |||||||||
Figura de vértice | (pr) q | (r.2p.q.2p) | (pq) r | (q.2r.p. 2r) | (qr) p | (r.2q.p. 2q) | (2p.2q.2r) | (3.r.3.q.3.p) | |
(4 3 3) | V6.6.8 | (3.4) 3 | 3.8.3.8 | (3.4) 3 | 3.6.4.6 | (3.3) 4 | 3.6.4.6 | 6.6.8 | 3.3.3.3.3.4 |
(4 4 3) | V6.8.8 | (3.4) 4 | 3.8.4.8 | (4,4) 3 | 3.6.4.6 | (3.4) 4 | 4.6.4.6 | 6.8.8 | 3.3.3.4.3.4 |
(4 4 4) | V8.8.8 | (4,4) 4 | 4.8.4.8 | (4,4) 4 | 4.8.4.8 | (4,4) 4 | 4.8.4.8 | 8.8.8 | 3.4.3.4.3.4 |
Listas ampliadas de mosaicos uniformes
Hay varias formas en que se puede ampliar la lista de mosaicos uniformes:
- Las figuras de vértice pueden tener caras retrógradas y dar la vuelta al vértice más de una vez.
- Se pueden incluir baldosas poligonales en estrella .
- Apeirogons , {∞}, se pueden utilizar como caras de mosaico.
- La restricción de que las baldosas se unen de borde a borde se puede relajar, lo que permite embaldosados adicionales como el mosaico de Pitágoras .
Los triángulos de grupo de simetría con retrogrados incluyen:
- (4/3 4/3 2) (6 3/2 2) (6/5 3 2) (6 6/5 3) (6 6 3/2)
Los triángulos de grupo de simetría con infinito incluyen:
- (4 4/3 ∞) (3/2 3 ∞) (6 6/5 ∞) (3 3/2 ∞)
Branko Grünbaum , en el libro de 1987 Tilings and patterns , en la sección 12.3 enumera una lista de 25 mosaicos uniformes, incluidas las 11 formas convexas, y agrega 14 más que él llama mosaicos huecos que incluían las dos primeras expansiones anteriores, caras poligonales de estrellas y figuras de vértices. .
HSM Coxeter et al., En el artículo de 1954 'Poliedros uniformes', en la Tabla 8: Teselaciones uniformes , utiliza las tres primeras expansiones y enumera un total de 38 mosaicos uniformes. Si también se contabiliza una baldosa hecha de 2 apeirogons, el total puede considerarse 39 baldosas uniformes.
Además de las 11 soluciones convexas, las 28 teselaciones de estrellas uniformes enumeradas por Coxeter et al. , agrupados por gráficos de bordes compartidos, se muestran a continuación. Para mayor claridad, los primeros siete mosaicos no se colorean con apeirogons y, a partir de entonces, solo se colorean los polígonos alrededor de un vértice.
# [1] | Diagrama | Configuración de vértice | Wythoff | Simetría | Notas |
---|---|---|---|---|---|
I1 | ∞.∞ | p1m1 | (Dos baldosas de semiplano, orden 2 baldosas apeirogonal ) | ||
I2 | 4.4.∞ | ∞ 2 | 2 | p1m1 | Prisma apeirogonal | |
I3 | 3.3.3.∞ | | 2 2 ∞ | p11g | Antiprisma apeirogonal |
Simetría del grupo de papel tapiz | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
McNeill [1] | Grünbaum [2] | Diagrama de aristas | Sólido | Configuración de vértice | Wythoff | Simetría |
I4 | 4.∞.4 / 3.∞ 4.∞.-4.∞ | 4/3 4 | ∞ | p4m | |||
I5 | (3.∞.3.∞.3.∞) / 2 | 3/2 | 3 ∞ | p6m | |||
I6 | 6.∞.6 / 5.∞ 6.∞.-6.∞ | 6/5 6 | ∞ | ||||
I7 | ∞.3.∞.3 / 2 ∞.3.∞.-3 | 3/2 3 | ∞ | ||||
1 | 15 | 3 / 2.12.6.12 -3.12.6.12 | 3/2 6 | 6 | p6m | ||
dieciséis | 4.12.4 / 3.12 / 11 4.12.4 / 3.-12 | 2 6 (3/2 6/2) | | ||||
2 | 8 / 3.4.8 / 3.∞ | 4 ∞ | 4/3 | p4m | |||
7 | 8 / 3.8.8 / 5.8 / 7 8 / 3.8.-8 / 3.-8 | 4/3 4 (4/2 ∞ / 2) | | ||||
8.4 / 3.8.∞ 8.-4.8.∞ | 4/3 ∞ | 4 | |||||
3 | 12 / 5.6.12 / 5.∞ | 6 ∞ | 6/5 | p6m | |||
21 | 12 / 5.12.12 / 7.12 / 11 12 / 5.12.-12 / 5.-12 | 6/5 6 (6/2 ∞ / 2) | | ||||
12.6 / 5.12.∞ 12.-6.12.∞ | 6/5 ∞ | 6 | |||||
4 | 18 | 12 / 5.3.12 / 5.6 / 5 | 3 6 | 6/5 | p6m | ||
19 | 12 / 5.4.12 / 7.4 / 3 12 / 5.4.-12 / 5.-4 | 2 6/5 (3/2 6/2) | | ||||
17 | 4.3 / 2.4.6 / 5 4.-3.4.-6 | 3/2 6 | 2 | ||||
5 | 8.8 / 3.∞ | 4/3 4 ∞ | | p4m | |||
6 | 12.12 / 5.∞ | 6/5 6 ∞ | | p6m | |||
7 | 6 | 8.4 / 3.8 / 5 4.8.-8/3 | 2 4/3 4 | | p4m | ||
8 | 13 | 6.4 / 3.12 / 7 -6.4.12 / 5 | 2 3 6/5 | | p6m | ||
9 | 12 | 12.6 / 5.12 / 7 -12.6.12 / 5 | 3 6/5 6 | | p6m | ||
10 | 8 | 4,8 / 5,8 / 5 -4,8 / 3,8 / 3 | 2 4 | 4/3 | p4m | ||
11 | 22 | 12 / 5.12 / 5.3 / 2 12 / 5.12 / 5.-3 | 2 3 | 6/5 | p6m | ||
12 | 2 | 4.4.3 / 2.3 / 2.3 / 2 4.4.-3.-3.-3 | no Wythoffian | cmm | ||
13 | 4 | 4.3 / 2.4.3 / 2.3 / 2 4.-3.4.-3.-3 | | 2 4/3 4/3 | p4g | ||
14 | 3.4.3.4/3.3.∞ 3.4.3.-4.3.∞ | | 4/3 4 ∞ | p4g |
Azulejos auto-duales
Los mosaicos también pueden ser auto-duales . El mosaico cuadrado, con el símbolo de Schläfli {4,4}, es auto-dual; aquí se muestran dos mosaicos cuadrados (rojo y negro), duales entre sí.
Mosaicos uniformes utilizando polígonos en estrella
Ver un polígono en estrella como un polígono no convexo con el doble de lados permite polígonos en estrella, y contarlos como polígonos regulares permite que se utilicen en un mosaico uniforme . Estos polígonos están etiquetados como {N α } para un 2N-gon isotoxal no convexo con un ángulo diedro externo α. Sus vértices externos están etiquetados como N*
αy N interno**
α. Esta expansión de la definición requiere que las esquinas con solo 2 polígonos no se consideren vértices. El mosaico se define por su configuración de vértice como una secuencia cíclica de polígonos convexos y no convexos alrededor de cada vértice. Hay 4 mosaicos uniformes de este tipo con ángulos α ajustables y 18 mosaicos uniformes que solo funcionan con ángulos específicos. [3]
Todas estas teselaciones están topológicamente relacionadas con las teselaciones uniformes ordinarias con polígonos regulares convexos, con vértices de 2 valencia ignorados y caras cuadradas como digones, reducidas a un solo borde.
3.6* α.6** α 3.12.12 topológico | 4.4* α.4** α Topológico 4.8.8 | 6.3* α.3** α Topológico 6.6.6 | 3.3* α.3.3** α Topológico 3.6.3.6 |
4.6.4* π / 6.6 Topológico 4.4.4.4 | (8,4* π / 4) 2 Topológico 4.4.4.4 | 12.12.4* π / 3 Topológico 4.8.8 | 3.3.8* π / 12.4** π / 3.8* π / 12 Topológico 4.8.8 | 3.3.8* π / 12.3.4.3.8* π / 12 Topológico 4.8.8 | 3.4.8.3.8* π / 12 Topológico 4.8.8 |
5.5.4* 4π / 10.5.4* π / 10 Topológico 3.3.4.3.4 | 4.6* π / 6.6** π / 2.6* π / 6 Topológico 6.6.6 | (4,6* π / 6) 3 Topológico 6.6.6 | 9.9.6* 4π / 9 Topológico 6.6.6 | (6,6* π / 3) 2 Topológico 3.6.3.6 | (12,3* π / 6) 2 Topológico 3.6.3.6 |
3.4.6.3.12* π / 6 Topológico 4.6.12 | 3.3.3.12* π / 6.3.3.12* π / 6 3.12.12 topológico | 18.18.3* 2π / 9 3.12.12 topológico | 3.6.6* π / 3.6 Topológico 3.4.6.4 | 8.3* π / 12.8.6* 5π / 12 Topológico 3.4.6.4 | 9.3.9.3* π / 9 Topológico 3.6.3.6 |
Mosaicos uniformes usando polígonos alternos
Los polígonos estelares de la forma {p α } también pueden representar 2 p -gones convexos alternando dos ángulos, siendo el más simple un rombo {2 α }. Permitir que estos sean polígonos regulares, crea mosaicos más uniformes, con un ejemplo a continuación.
3.2 * .6.2 ** Topológico 3.4.6.4 | 4.4.4.4 Topológico 4.4.4.4 | (2* π / 6.2** π / 3) 2 Topológico 4.4.4.4 | 2* π / 6.2* π / 6.2** π / 3.2** π / 3 Topológico 4.4.4.4 | 4.2* π / 6.4.2** π / 3 Topológico 4.4.4.4 |
Ver también
- Símbolo de Wythoff
- Lista de mosaicos uniformes
- Azulejos uniformes en plano hiperbólico
- Politopo uniforme
Referencias
- ^ a b Jim McNeill
- ^ Azulejos y patrones, tabla 12.3.1 p.640
- ↑ Tilings and Patterns Branko Gruenbaum, GC Shephard, 1987. 2.5 Tilings usando polígonos en estrella, pp.82-85.
- Politopos uniformes de Norman Johnson , Manuscrito (1991)
- NW Johnson : La teoría de politopos uniformes y panales , Ph.D. Disertación, Universidad de Toronto, 1966
- Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1987). Azulejos y Patrones . WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-1193-1. (Azulejos de estrellas sección 12.3)
- HSM Coxeter , MS Longuet-Higgins , JCP Miller , Poliedros uniformes , Phil. Trans. 1954, 246 A, 401–50 JSTOR 91532 (Tabla 8)
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Teselado uniforme" . MathWorld .
- Teselaciones uniformes en el plano de Euclides
- Teselaciones del plano
- El mundo de los teselados de David Bailey
- K-azulejos uniformes
- azulejos n-uniformes
- Klitzing, Richard. "Azulejos euclidianos 4D" .
Espacio | Familia | / / | ||||
---|---|---|---|---|---|---|
E 2 | Azulejos uniformes | {3 [3] } | δ 3 | hδ 3 | qδ 3 | Hexagonal |
E 3 | Nido de abeja convexo uniforme | {3 [4] } | δ 4 | hδ 4 | qδ 4 | |
E 4 | Uniforme de 4 panales | {3 [5] } | δ 5 | hδ 5 | qδ 5 | Panal de 24 celdas |
E 5 | Uniforme de 5 panales | {3 [6] } | δ 6 | hδ 6 | qδ 6 | |
E 6 | Uniforme de 6 panales | {3 [7] } | δ 7 | hδ 7 | qδ 7 | 2 22 |
E 7 | Uniforme de 7 panales | {3 [8] } | δ 8 | hδ 8 | qδ 8 | 1 33 • 3 31 |
E 8 | Uniforme de 8 panal | {3 [9] } | δ 9 | hδ 9 | qδ 9 | 1 52 • 2 51 • 5 21 |
E 9 | Uniforme de 9 panales | {3 [10] } | δ 10 | hδ 10 | qδ 10 | |
E n -1 | Uniforme ( n -1) - panal | {3 [n] } | δ n | hδ n | qδ n | 1 k2 • 2 k1 • k 21 |