En álgebra abstracta , una representación de un álgebra asociativa es un módulo para ese álgebra. Aquí un álgebra asociativa es una (no necesariamente unital ) anillo . Si el álgebra no es unital, se puede hacer de manera estándar (ver la página de functores adjuntos ); no existe una diferencia esencial entre los módulos para el anillo unital resultante, en el que la identidad actúa mediante el mapeo de la identidad, y las representaciones del álgebra.
Ejemplos de
Estructura compleja lineal
Uno de los ejemplos más simples no triviales es una estructura compleja , que es una representación de los números complejos C , pensado como un álgebra asociativa sobre el números reales R . Esta álgebra se realiza concretamente comoque corresponde a i 2 = −1 . Entonces, una representación de C es un espacio vectorial real V , junto con una acción de C sobre V (un mapa). Concretamente, esto es sólo una acción de i , ya que esto genera el álgebra, y el operador que representa i (la imagen de i en End ( V )) se denota J para evitar confusiones con la matriz de identidad I .
Álgebras polinomiales
Otra clase básica importante de ejemplos son las representaciones de álgebras polinomiales , las álgebras conmutativas libres, que forman un objeto central de estudio en el álgebra conmutativa y su contraparte geométrica, la geometría algebraica . Una representación de un álgebra polinomial en k variables sobre el campo K es concretamente un espacio de K -vector con k operadores de conmutación, y a menudo se denota es decir, la representación del álgebra abstracta dónde
Un resultado básico de tales representaciones es que, sobre un campo algebraicamente cerrado , las matrices representativas son simultáneamente triangularizables .
Incluso el caso de representaciones del álgebra polinomial en una sola variable es de interés; esto se denota por y se utiliza para comprender la estructura de un solo operador lineal en un espacio vectorial de dimensión finita. Específicamente, la aplicación del teorema de estructura para módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal a este álgebra da como corolario las diversas formas canónicas de matrices, como la forma canónica de Jordan .
En algunos enfoques de la geometría no conmutativa , el álgebra no conmutativa libre (polinomios en variables no conmutativas) juega un papel similar, pero el análisis es mucho más difícil.
Pesos
Los autovalores y autovectores se pueden generalizar a representaciones de álgebra.
La generalización de un valor propio de una representación de álgebra es, en lugar de un solo escalar, una representación unidimensional(es decir, un homomorfismo de álgebra desde el álgebra a su anillo subyacente: un funcional lineal que también es multiplicativo). [nota 1] Esto se conoce como peso , y los análogos de un vector propio y un espacio propio se denominan vector de peso y espacio de peso .
El caso del valor propio de un solo operador corresponde al álgebra y un mapa de álgebras se determina mediante el cual se asigna escalar el generador T a. Un vector de peso para una representación de álgebra es un vector tal que cualquier elemento del álgebra mapea este vector a un múltiplo de sí mismo: un submódulo unidimensional (subrepresentación). Como el maridajees bilineal , "qué múltiplo" es un funcional lineal A de A (un mapa de álgebra A → R ), es decir, el peso. En símbolos, un vector de peso es un vector tal que para todos los elementos para algunos funcionales lineales - tenga en cuenta que a la izquierda, la multiplicación es la acción del álgebra, mientras que a la derecha, la multiplicación es la multiplicación escalar.
Debido a que un peso es un mapa de un anillo conmutativo , el mapa se factoriza mediante la abelianización del álgebra. - de manera equivalente, desaparece en el álgebra derivada - en términos de matrices, si es un vector propio común de operadores y , luego (porque en ambos casos es solo una multiplicación por escalares), por lo que los vectores propios comunes de un álgebra deben estar en el conjunto en el que el álgebra actúa conmutativamente (que es aniquilado por el álgebra derivada). Por tanto, son de interés central las álgebras conmutativas libres, a saber, las álgebras polinómicas . En este caso particularmente simple e importante del álgebra polinomialEn un conjunto de matrices conmutadas, un vector de peso de esta álgebra es un vector propio simultáneo de las matrices, mientras que un peso de esta álgebra es simplemente un-tupla de escalares correspondiente al valor propio de cada matriz, y por tanto geométricamente a un punto en -espacio. Estos pesos, en particular su geometría, son de importancia central para comprender la teoría de la representación de las álgebras de Lie , específicamente las representaciones de dimensión finita de las álgebras de Lie semisimples .
Como una aplicación de esta geometría, dada un álgebra que es un cociente de un álgebra polinomial en generadores, corresponde geométricamente a una variedad algebraica en-espacio dimensional, y el peso debe recaer en la variedad, es decir, satisface las ecuaciones definitorias de la variedad. Esto generaliza el hecho de que los valores propios satisfacen el polinomio característico de una matriz en una variable.
Ver también
Notas
- ^ Tenga en cuenta que para un campo, el álgebra de endomorfismo de un espacio vectorial unidimensional (una línea) es canónicamente igual al campo subyacente: Fin ( L ) = K , ya que todos los endomorfismos son multiplicaciones escalares; Por lo tanto, no hay pérdida en la restricción a mapas concretos del campo base, en lugar de a representaciones abstractas unidimensionales . Para los anillos, también hay mapas de anillos de cociente , que no necesitan factorizar a través de mapas del anillo en sí, pero de nuevono se necesitan módulos unidimensionales abstractos.
Referencias
- Richard S. Pierce. Álgebras asociativas . Textos de posgrado en matemáticas, Vol. 88, Springer-Verlag, 1982, ISBN 978-0-387-90693-5