Monus

Truncar la resta en números naturales, o una generalización de los mismos

En matemáticas, monus es un operador en ciertos monoides conmutativos que no son grupos . Un monoide conmutativo en el que se define un operador monus se denomina monoide conmutativo con monus o CMM . El operador monus se puede denotar con el símbolo - porque los números naturales son una CMM que se resta ; también se denota con el símbolo para distinguirlo del operador de resta estándar.${\displaystyle \mathop {\dot {-}} }$

Notación

glifo	Nombre Unicode	Punto de código Unicode [1]	Referencia de entidad de carácter HTML	Referencias de caracteres numéricos HTML / XML	Texas
∸	PUNTO MENOS	U + 2238		∸	\dot -
-	SIGNO MENOS	U + 2212	−	−	-

Definición

Sea un monoide conmutativo . Defina una relación binaria en este monoide de la siguiente manera: para dos elementos cualesquiera y , defina si existe un elemento tal que . Es fácil comprobar que es reflexivo ^[2] y transitivo . ^[3] se llama ordenado naturalmente si la relación es además antisimétrica y, por tanto, un orden parcial . Además, si para cada par de elementos y , existe un elemento único más pequeño tal que , entonces M se llama un${\displaystyle (M,+,0)}$ ${\displaystyle \leq }$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a+c=b}$${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a\leq b+c}$monoide conmutativo con monus ^{[4] : 129} y el monus de dos elementos cualesquiera y se puede definir como este elemento único más pequeño tal que .${\displaystyle a\mathop {\dot {-}} b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a\leq b+c}$

Un ejemplo de un monoide conmutativo que no está ordenado de forma natural es el monoide conmutativo de los números enteros con la adición habitual , como para cualquiera , existe tal que , así es para cualquiera , por lo que no es un orden parcial. También hay ejemplos de monoides que están ordenados naturalmente pero no son semirrigidos con monus. ^[5]${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,0)}$${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle c}$${\displaystyle a+c=b}$${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \leq }$

Otras estructuras

Más allá de los monoides, la noción de monus se puede aplicar a otras estructuras. Por ejemplo, un semirrígido ordenado de forma natural (a veces llamado dioide ^[6] ) es un semiretaje en el que el monoide conmutativo inducido por el operador de suma está ordenado de forma natural. Cuando este monoide es un monoide conmutativo con monus, el semiringuito se llama semiring con monus , o m-semiring .

Ejemplos de

Si M es un ideal en un álgebra de Boole , entonces M es un monoide conmutativo con monus debajo de y . ^{[4] : 129}${\displaystyle a+b=a\vee b}$${\displaystyle a\mathop {\dot {-}} b=a\wedge \neg b}$

Números naturales

Los números naturales que incluyen 0 forman un monoide conmutativo con monus, con su orden siendo el orden habitual de los números naturales y el operador monus es una variante de saturación de la resta estándar, también conocida como resta truncada , ^[7] resta limitada , resta propia , doz ( diferencia o cero ), ^[8] y monus . ^[9] La resta truncada generalmente se define como ^[7]

${\displaystyle a\mathop {\dot {-}} b={\begin{cases}0&{\mbox{if }}a<b\\a-b&{\mbox{if }}a\geq b,\end{cases}}}$

donde - denota la resta estándar . Por ejemplo, 5 - 3 = 2 y 3 - 5 = −2 en la resta regular, mientras que en la resta truncada 3 ∸ 5 = 0. La resta truncada también se puede definir como ^[9]

${\displaystyle a\mathop {\dot {-}} b=\max(a-b,0).}$

En la aritmética de Peano , la resta truncada se define en términos de la función predecesora P (la inversa de la función sucesora ): ^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}P(0)&=0\\P(S(a))&=a\\a\mathop {\dot {-}} 0&=a\\a\mathop {\dot {-}} S(b)&=P(a\mathop {\dot {-}} b).\end{aligned}}}$

La resta truncada es útil en contextos como las funciones recursivas primitivas , que no se definen sobre números negativos. ^[7] La resta truncada también se utiliza en la definición del operador de diferencia de conjuntos múltiples .

Propiedades

La clase de todos los monoides conmutativos con monus forman una variedad . ^{[4] : 129} La base de las ecuaciones para la variedad de todas las MMC consiste en los axiomas de los monoides conmutativos , así como en los siguientes axiomas:

${\displaystyle {\begin{aligned}a+(b\mathop {\dot {-}} a)&=b+(a\mathop {\dot {-}} b),\\(a\mathop {\dot {-}} b)\mathop {\dot {-}} c&=a\mathop {\dot {-}} (b+c),\\(a\mathop {\dot {-}} a)&=0,\\(0\mathop {\dot {-}} a)&=0.\\\end{aligned}}}$

Notas

1. caracteres en Unicode se mencionan en prosa mediante la notación "U +". Elnúmero hexadecimal después de la "U +" es el punto de código Unicode del carácter.
2. tomandocomo elemento neutro del monoide${\displaystyle c}$
3. sicon testigoycon testigoentoncestestigos que${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle d}$${\displaystyle b\leq c}$${\displaystyle d'}$${\displaystyle d+d'}$${\displaystyle a\leq c}$
4. Amer, K. (1984), "Clases igualmente completas de monoides conmutativos con monus", Algebra Universalis , 18 : 129-131, doi : 10.1007 / BF01182254
5. M.Monet (14 de octubre de 2016). "Ejemplo de un semiring ordenado naturalmente que no es un m-semiring" . Intercambio de pila de matemáticas . Consultado el 14 de octubre de 2016 .
6. Semillas para el desayuno , diapositiva 17
7. Vereschchagin, Nikolai K .; Shen, Alexander (2003). Funciones computables . Traducido por VN Dubrovskii. Sociedad Matemática Estadounidense . pag. 141. ISBN 0-8218-2732-4.
8. Warren Jr., Henry S. (2013). Hacker's Delight (2 ed.). Addison Wesley - Pearson Education, Inc. ISBN  978-0-321-84268-8.
9. Jacobs, Bart (1996). "Especificaciones y modelos de Coalgebraic de sistemas híbridos deterministas" . En Wirsing, Martin; Nivat, Maurice (eds.). Metodología algebraica y tecnología de software . Apuntes de conferencias en Ciencias de la Computación. 1101 . Saltador. pag. 522. ISBN 3-540-61463-X.