Polinomios de Gegenbauer
En matemáticas , polinomios de Gegenbauer o polinomios ultraesféricos C(a)
norte( x ) son polinomios ortogonales en el intervalo [−1,1] con respecto a la función de peso (1 − x 2 ) α –1/2 . Generalizan polinomios de Legendre y polinomios de Chebyshev , y son casos especiales de polinomios de Jacobi . Llevan el nombre de Leopold Gegenbauer .
Para un α fijo , los polinomios son ortogonales en [−1, 1] con respecto a la función de ponderación (Abramowitz & Stegun p. 774 )
Los polinomios de Gegenbauer aparecen naturalmente como extensiones de los polinomios de Legendre en el contexto de la teoría del potencial y el análisis armónico . El potencial newtoniano en R n tiene la expansión, válida con α = ( n − 2)/2,
Cuando n = 3, esto da la expansión polinomial de Legendre del potencial gravitacional . Expresiones similares están disponibles para la expansión del núcleo de Poisson en una bola ( Stein & Weiss 1971 ).
De ello se deduce que las cantidades son armónicos esféricos , cuando se consideran como una función de x solamente. Son, de hecho, exactamente los armónicos esféricos zonales , hasta una constante de normalización.
