Convergencia incondicional

En matemáticas , específicamente en el análisis funcional , una serie es incondicionalmente convergente si todos los reordenamientos de la serie convergen en el mismo valor. Por el contrario, una serie es condicionalmente convergente si converge, pero no todos los diferentes ordenamientos convergen a ese mismo valor. La convergencia incondicional es equivalente a la convergencia absoluta en espacios vectoriales de dimensión finita , pero es una propiedad más débil en dimensiones infinitas.

Definición

Dejar ${\displaystyle X}$ser un espacio vectorial topológico . Dejar${\displaystyle I}$ser un conjunto de índices y${\displaystyle x_{i}\in X}$ para todos ${\displaystyle i\in I}$.

Las series ${\displaystyle \textstyle \sum _{i\in I}x_{i}}$se llama incondicionalmente convergente a ${\displaystyle x\in X}$, Si

• el conjunto de indexación ${\displaystyle I_{0}:=\{i\in I\mid x_{i}\neq 0\}}$es contable , y
• por cada permutación ( biyección )${\displaystyle \sigma :I_{0}\to I_{0}}$ de ${\displaystyle I_{0}=\{i_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ se cumple la siguiente relación: ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{\sigma (i_{k})}=x}$

Definición alternativa

La convergencia incondicional a menudo se define de manera equivalente: una serie es incondicionalmente convergente si para cada secuencia ${\displaystyle (\varepsilon _{n})_{n=1}^{\infty }}$, con ${\displaystyle \varepsilon _{n}\in \{-1,+1\}}$, las series

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\varepsilon _{n}x_{n}}$

converge.

Si X es un espacio de Banach , toda serie absolutamente convergente es incondicionalmente convergente, pero la implicación inversa no se cumple en general. De hecho, si X es un espacio de Banach de dimensión infinita, entonces, según el teorema de Dvoretzky-Rogers, siempre existe una serie incondicionalmente convergente en este espacio que no es absolutamente convergente. Sin embargo, cuando X = R ⁿ , según el teorema de la serie de Riemann , la serie${\textstyle \sum _{n}x_{n}}$ es incondicionalmente convergente si y solo si es absolutamente convergente.

Ver también

• Modos de convergencia (índice anotado)
• Teorema de la serie de Riemann
• Teorema de Dvoretzky-Rogers
• Reordenamientos y convergencia incondicional

Referencias

• Ch. Heil: un manual básico de teoría
• Knopp, Konrad (1956). Secuencias y series infinitas . Publicaciones de Dover. ISBN 9780486601533.
• Knopp, Konrad (1990). Teoría y aplicación de series infinitas . Publicaciones de Dover. ISBN 9780486661650.
• Wojtaszczyk, P. (1996). Espacios de Banach para analistas . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9780521566759.

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