Anillo de valoración discreta

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En álgebra abstracta , un anillo de valoración discreto ( DVR ) es un dominio ideal principal (PID) con exactamente un ideal máximo distinto de cero .

Esto significa que un DVR es un dominio integral R que satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

deja _ Entonces, el campo de fracciones de es . Para cualquier elemento distinto de cero de , podemos aplicar una factorización única al numerador y al denominador de r para escribir r como 2 ^k z / n donde z , n y k son números enteros con z y n impares. En este caso, definimos ν( r )= k . Entonces es el anillo de valoración discreta correspondiente a ν. El ideal maximal de es el ideal principal generado por 2, es decir${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}:=\{z/n\mid z,n\in \mathbb {Z} ,\,\,n{\text{ es impar}}\}}$${\ estilo de visualización \ mathbb {Z} _ {(2)}}$${\ estilo de visualización \ mathbb {Q}}$${\ estilo de visualización r}$${\ estilo de visualización \ mathbb {Q}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {Z} _ {(2)}}$${\ estilo de visualización \ mathbb {Z} _ {(2)}}$${\ estilo de visualización 2 \ mathbb {Z} _ {(2)}}$, y el elemento irreducible "único" (hasta unidades) es 2 (esto también se conoce como parámetro uniformizador). Tenga en cuenta que es la localización del dominio de Dedekind en el ideal primo generado por 2.${\ estilo de visualización \ mathbb {Z} _ {(2)}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {Z}}$

De manera más general, cualquier localización de un dominio de Dedekind en un ideal primo distinto de cero es un anillo de valoración discreto; en la práctica, así es frecuentemente como surgen los anillos de valoración discretos. En particular, podemos definir anillos

El anillo de enteros p -ádicos es un DVR, para cualquier número primo . Aquí hay un elemento irreducible ; la valoración asigna a cada entero -ádico el mayor entero tal que divide .${\ estilo de visualización \ mathbb {Z} _ {p}}$ ${\ estilo de visualización p}$${\ estilo de visualización p}$${\ estilo de visualización p}$${\ estilo de visualización x}$ ${\ estilo de visualización k}$${\displaystyle p^{k}}$${\ estilo de visualización x}$

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