En geometría , una normal es un objeto como una línea , un rayo o un vector que es perpendicular a un objeto dado. Por ejemplo, la línea normal a una curva plana en un punto dado es la línea (infinita) perpendicular a la línea tangente a la curva en el punto. Un vector normal puede tener una longitud uno (un vector unitario ) o su longitud puede representar la curvatura del objeto (un vector de curvatura ); su signo algebraico puede indicar lados (interior o exterior).
En tres dimensiones, una superficie normal , o simplemente normal , a una superficie en el punto P es un vector perpendicular al plano tangente de la superficie en P. La palabra "normal" también se usa como adjetivo: una línea normal a un plano , el componente normal de una fuerza , el vector normal , etc. El concepto de normalidad se generaliza a la ortogonalidad ( ángulos rectos ).
El concepto se ha generalizado a variedades diferenciables de dimensión arbitraria incrustadas en un espacio euclidiano . El espacio de vector normal o el espacio normal de un colector en el punto P es el conjunto de vectores que son ortogonales al espacio tangente en P . Los vectores normales son de especial interés en el caso de curvas suaves y superficies suaves .
La normal se usa a menudo en gráficos por computadora en 3D (observe el singular, ya que solo se definirá una normal) para determinar la orientación de una superficie hacia una fuente de luz para un sombreado plano , o la orientación de cada una de las esquinas de la superficie ( vértices ) para imitar una superficie curva con sombreado Phong .
Normal a superficies en el espacio 3D
Calcular una superficie normal
Para un polígono convexo (como un triángulo ), una superficie normal se puede calcular como el producto cruzado vectorial de dos bordes (no paralelos) del polígono.
Para un plano dado por la ecuación, el vector es normal.
Para un plano cuya ecuación se da en forma paramétrica
- ,
donde r 0 es un punto en el plano y p , q son vectores no paralelos que apuntan lo largo del plano, una normal al plano es un vector normal a ambos p y q , que se puede encontrar como el producto vectorial .
Si una superficie (posiblemente no plana) S en el espacio tridimensional R 3 está parametrizada por un sistema de coordenadas curvilíneas r ( s , t ) = ( x ( s , t ), y ( s , t ), z ( s , t )), con s y t reales variables, a continuación, una normal a S es por definición una normal a un plano tangente, propuesta por el producto cruzado de las derivadas parciales
Si una superficie S se da implícitamente como el conjunto de puntos satisfactorio , luego una normal en un punto en la superficie viene dado por el gradiente
desde el gradiente en cualquier punto es perpendicular al conjunto de nivel S .
Para una superficie S en R 3 dada como la gráfica de una función, se puede encontrar una normal que apunta hacia arriba a partir de la parametrización , donación
o más simplemente de su forma implícita , donación . Dado que una superficie no tiene un plano tangente en un punto singular , no tiene una normal bien definida en ese punto: por ejemplo, el vértice de un cono . En general, es posible definir una normal en casi todas partes para una superficie que es Lipschitz continua .
Elección de normal
La normal a una (hiper) superficie generalmente se escala para tener una longitud unitaria , pero no tiene una dirección única, ya que su opuesto también es una unidad normal. Para una superficie que es el límite topológico de un conjunto en tres dimensiones, se puede distinguir entre el interior que apunta hacia la normalidad y exterior que apunta hacia la normalidad . Para una superficie orientada , la normal suele estar determinada por la regla de la mano derecha o su análogo en dimensiones superiores.
Si la normal se construye como el producto cruzado de vectores tangentes (como se describe en el texto anterior), es un pseudovector .
Transformando normales
- Nota: en esta sección solo usamos la matriz superior de 3 × 3, ya que la traducción es irrelevante para el cálculo
Al aplicar una transformación a una superficie, a menudo es útil derivar las normales para la superficie resultante a partir de las normales originales.
Específicamente, dada una matriz de transformación M de 3 × 3 , podemos determinar la matriz W que transforma un vector n perpendicular al plano tangente t en un vector n ′ perpendicular al plano tangente transformado M t , por la siguiente lógica:
Escribe n ′ como W n . Debemos encontrar W .
Claramente eligiendo W tal que, o , satisfará la ecuación anterior, dando un perpendicular a , o una n ′ perpendicular a t ′ , según se requiera.
Por lo tanto, se debe usar la transpuesta inversa de la transformación lineal al transformar las normales de superficie. La transposición inversa es igual a la matriz original si la matriz es ortonormal, es decir, puramente rotacional sin escalado ni cizallamiento.
Hiperesuperficies en el espacio n -dimensional
Por un hiperplano -dimensional en el espacio n -dimensional R n dado por su representación paramétrica
donde p 0 es un punto en el hiperplano y p i para i = 1, ..., n −1 son vectores linealmente independientes que apuntan a lo largo del hiperplano, una normal al hiperplano es cualquier vectoren el espacio nulo de la matriz, significado . Es decir, cualquier vector ortogonal a todos los vectores en el plano es, por definición, una superficie normal. Alternativamente, si el hiperplano se define como el conjunto de solución de una única ecuación lineal, luego el vector es normal.
La definición de una normal a una superficie en un espacio tridimensional puede extenderse a hipersuperficies ( n −1) -dimensionales en R n . Una hipersuperficie puede definirse localmente implícitamente como el conjunto de puntos satisfaciendo una ecuación , dónde es una función escalar dada . Sies continuamente diferenciable, entonces la hipersuperficie es una variedad diferenciable en la vecindad de los puntos donde el gradiente no es cero. En estos puntos, el gradiente da un vector normal:
La línea normal es el subespacio unidimensional con base { n }.
Variedades definidas por ecuaciones implícitas en el espacio n -dimensional
Una variedad diferencial definida por ecuaciones implícitas en el espacio n -dimensional R n es el conjunto de ceros comunes de un conjunto finito de funciones diferenciables en n variables
La matriz jacobiana de la variedad es la matriz k × n cuya i -ésima fila es el gradiente de f i . Según el teorema de la función implícita , la variedad es una variedad en la vecindad de un punto donde la matriz jacobiana tiene rango k . En tal punto P , el espacio vectorial normal es el espacio vectorial generado por los valores en P de los vectores de gradiente de f i .
En otras palabras, una variedad se define como la intersección de k hipersuperficies, y el espacio vectorial normal en un punto es el espacio vectorial generado por los vectores normales de las hipersuperficies en el punto.
El (afín) espacio normal en un punto P de la variedad es el subespacio afín que pasa a través de P y generado por el espacio de vector normal a P .
Estas definiciones pueden extenderse literalmente a los puntos donde la variedad no es múltiple.
Ejemplo
Sea V la variedad definida en el espacio tridimensional por las ecuaciones
Esta variedad es la unión del X eje x y la y eje x.
En un punto ( a , 0, 0) , donde a ≠ 0 , las filas de la matriz jacobiana son (0, 0, 1) y (0, a , 0) . Por tanto, el espacio afín normal es el plano de la ecuación x = a . De manera similar, si b ≠ 0 , el plano normal en (0, b , 0) es el plano de la ecuación y = b .
En el punto (0, 0, 0) las filas de la matriz jacobiana son (0, 0, 1) y (0, 0, 0) . Por tanto, el espacio vectorial normal y el espacio afín normal tienen dimensión 1 y el espacio afín normal es el eje z .
Usos
- Las normales de superficie son útiles para definir integrales de superficie de campos vectoriales .
- Las normales de superficie se usan comúnmente en gráficos por computadora en 3D para cálculos de iluminación (consulte la ley del coseno de Lambert ), a menudo ajustadas por mapeo normal .
- Las capas de renderizado que contienen información de la superficie normal se pueden utilizar en composición digital para cambiar la iluminación aparente de los elementos renderizados. [ cita requerida ]
- En la visión por computadora , las formas de los objetos 3D se estiman a partir de las normales de la superficie utilizando estéreo fotométrico . [1]
Normal en óptica geométrica
El rayo normal es el rayo que apunta hacia afuera perpendicular a la superficie de un medio óptico en un punto dado. [2] En la reflexión de la luz , el ángulo de incidencia y el ángulo de reflexión son respectivamente el ángulo entre el rayo normal e incidente (en el plano de incidencia ) y el ángulo entre el rayo normal y el reflejado .
Ver también
- Vector normal elipsoide
- Pseudovector
- Espacio dual
- Vértice normal
Referencias
- ^ Ying Wu. "Radiometría, BRDF y Estéreo Fotométrico" (PDF) . Northwestern University.
- ^ "La Ley de la Reflexión" . El tutorial de física en el aula . Archivado desde el original el 27 de abril de 2009 . Consultado el 31 de marzo de 2008 .
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Vector normal" . MathWorld .
- Una explicación de los vectores normales de MSDN de Microsoft
- Pseudocódigo claro para calcular una superficie normal a partir de un triángulo o polígono.