En mecánica cuántica , la ecuación de Schrödinger describe cómo cambia un sistema con el tiempo. Lo hace relacionando los cambios en el estado del sistema con la energía en el sistema (dada por un operador llamado hamiltoniano ). Por lo tanto, una vez que se conoce el hamiltoniano, en principio se conoce la dinámica del tiempo. Todo lo que queda es insertar el hamiltoniano en la ecuación de Schrödinger y resolver el estado del sistema en función del tiempo. [1] [2]
A menudo, sin embargo, la ecuación de Schrödinger es difícil de resolver ( incluso con una computadora ). Por tanto, los físicos han desarrollado técnicas matemáticas para simplificar estos problemas y aclarar lo que está sucediendo físicamente. Una de esas técnicas consiste en aplicar una transformación unitaria al hamiltoniano. Hacerlo puede resultar en una versión simplificada de la ecuación de Schrödinger que, no obstante, tiene la misma solución que la original.
Transformación
Una transformación unitaria (o cambio de marco) se puede expresar en términos de un hamiltoniano dependiente del tiempo. y operador unitario . Bajo este cambio, el hamiltoniano se transforma como:
.
La ecuación de Schrödinger se aplica al nuevo hamiltoniano. Las soluciones a las ecuaciones transformadas y no transformadas también están relacionadas por. Específicamente, si la función de onda satisface la ecuación original, entonces satisfará la nueva ecuación. [3]
Derivación
Recuerde que por la definición de una matriz unitaria ,. Comenzando con la ecuación de Schrödinger,
,
por lo tanto, podemos insertar a voluntad. En particular, insertándolo después y también premultiplicar ambos lados por , obtenemos
.
A continuación, tenga en cuenta que según la regla del producto,
.
Insertar otro y reorganizando, obtenemos
.
Finalmente, la combinación de (1) y (2) anteriores da como resultado la transformación deseada:
.
Si adoptamos la notación para describir la función de onda transformada, las ecuaciones se pueden escribir en una forma más clara. Por ejemplo, se puede reescribir como
,
que se puede reescribir en forma de la ecuación de Schrödinger original,
La función de onda original se puede recuperar como .
Relación con la imagen de interacción
Las transformaciones unitarias pueden verse como una generalización de la imagen de interacción (Dirac) . En el último enfoque, un hamiltoniano se divide en una parte independiente del tiempo y una parte dependiente del tiempo,
.
En este caso, la ecuación de Schrödinger se convierte en
, con . [4]
La correspondencia con una transformación unitaria se puede mostrar eligiendo . Como resultado,
Usando la notación de arriba, nuestro hamiltoniano transformado se convierte en
Primero tenga en cuenta que desde es una función de , los dos deben viajar . Luego
,
que se ocupa del primer término en la transformación en , es decir . Luego use la regla de la cadena para calcular
que cancela con el otro . Evidentemente nos quedamos con, cediendo como se muestra arriba.
Sin embargo, al aplicar una transformación unitaria general, no es necesario que romperse en partes, o incluso que ser una función de cualquier parte del hamiltoniano.
Ejemplos de
Marco giratorio
Considere un átomo con dos estados , tierra y emocionado . El átomo tiene un hamiltoniano, dónde es la frecuencia de la luz asociada con la transición ge . Ahora suponga que iluminamos el átomo con un impulso a la frecuenciaque une los dos estados, y que el hamiltoniano impulsado dependiente del tiempo es
para una fuerza de impulsión compleja . Debido a las escalas de frecuencia en competencia (, , y ), es difícil anticipar el efecto del impulso (ver movimiento armónico impulsado ).
Sin una unidad, la fase de oscilaría en relación con . En la representación de la esfera de Bloch de un sistema de dos estados, esto corresponde a la rotación alrededor del eje z. Conceptualmente, podemos eliminar este componente de la dinámica entrando en un marco de referencia rotatorio definido por la transformación unitaria. Bajo esta transformación, el hamiltoniano se convierte en
.
Si la frecuencia de conducción es igual a la frecuencia de la transición ge, , se producirá resonancia y luego la ecuación anterior se reduce a
.
Sin entrar en detalles [ ¿por qué? ] , ya podemos predecir que la dinámica implicará una oscilación entre el suelo y los estados excitados en la frecuencia. [4]
Como otro caso límite, suponga que la unidad no resona mucho, . Podemos averiguar la dinámica en ese caso sin resolver la ecuación de Schrödinger directamente. Suponga que el sistema comienza en el estado fundamental. Inicialmente, el hamiltoniano poblará algún componente de. Poco tiempo después, sin embargo, poblará aproximadamente la misma cantidad depero con una fase completamente diferente. Por lo tanto, el efecto de un impulso con poca resonancia tenderá a cancelarse. Esto también se puede expresar diciendo que un impulso con poca resonancia está girando rápidamente en el marco del átomo .
Estos conceptos se ilustran en la siguiente tabla, donde la esfera representa la esfera de Bloch , la flecha representa el estado del átomo y la mano representa el impulso.
Marco de laboratorio | Marco giratorio | |
---|---|---|
Unidad resonante | ||
Unidad con poca resonancia |
Marco desplazado
El ejemplo anterior también podría haberse analizado en la imagen de interacción. El siguiente ejemplo, sin embargo, es más difícil de analizar sin la formulación general de transformaciones unitarias. Considere dos osciladores armónicos , entre los cuales nos gustaría diseñar una interacción de divisor de haz ,
.
Esto se logró experimentalmente con dos resonadores de cavidad de microondas que sirven como y . [5] A continuación, esbozamos el análisis de una versión simplificada de este experimento.
Además de las cavidades de microondas, el experimento también involucró un qubit transmon ,, acoplado a ambos modos. El qubit se maneja simultáneamente a dos frecuencias, y , para cual .
Además, hay muchos términos de cuarto orden que acoplan los modos , pero la mayoría de ellos pueden pasarse por alto. En este experimento, dos de estos términos que serán importantes son
.
(Hc es la abreviatura del conjugado hermitiano ). Podemos aplicar una transformación de desplazamiento ,, al modo [ aclaración necesaria ] . Para {{amplitudes cuidadosamente elegidas, esta transformación se cancelará mientras también desplaza al operador de la escalera, . Esto nos deja con
.
Al expandir esta expresión y eliminar los términos que rotan rápidamente, nos queda el hamiltoniano deseado,
.
Referencias
- ^ Sakurai, JJ; Napolitano, Jim J. (2014). Mecánica cuántica moderna (edición del subcontinente indio). Pearson. págs. 67–72. ISBN 978-93-325-1900-8.
- ^ Griffiths, David J. (2005). Introducción a la Mecánica Cuántica (Segunda ed.). Pearson. pp. 24 -29. ISBN 978-0-13-191175-8.
- ^ Axline, Christopher J. (2018). "Capítulo 6". Building Blocks for Modular Circuit QED Quantum Computing (PDF) (tesis doctoral) . Consultado el 4 de agosto de 2018 .
- ↑ a b Sakurai, págs. 346-350.
- ^ Yvonne Y. Gao; Brian J. Lester; et al. (21 de junio de 2018). "Interferencia programable entre dos memorias cuánticas de microondas". Phys. Rev. X . 8 (2). Material suplementario. arXiv : 1802.08510 . doi : 10.1103 / PhysRevX.8.021073 .