Teorema del límite superior

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En matemáticas, el teorema del límite superior establece que los politopos cíclicos tienen el mayor número posible de caras entre todos los politopos convexos con una dimensión y número de vértices determinados. Es uno de los resultados centrales de la combinatoria poliédrica .

Originalmente conocida como la conjetura del límite superior , esta declaración fue formulada por Theodore Motzkin , probada en 1970 por Peter McMullen , ^[1] y fortalecida de politopos a subdivisiones de una esfera en 1975 por Richard P. Stanley .

El politopo cíclico Δ ( n , d ) puede definirse como la envolvente convexa de n vértices en la curva de momento ( t ,  t ² ,  t ³ , ...). La elección precisa de qué n puntos en esta curva se seleccionan es irrelevante para la estructura combinatoria de este politopo. El número de caras i -dimensionales de Δ ( n , d ) viene dado por la fórmula

y determinar completamente a través de las ecuaciones de Dehn-Sommerville . La misma fórmula para el número de caras es más general para cualquier politopo vecino .${\displaystyle (f_{0},\ldots,f_{\left\lfloor {\frac {d}{2}}\right\rfloor -1})}$${\displaystyle (f_{\left\lpiso {\frac {d}{2}}\right\rpiso},\ldots,f_{d-1})}$

El teorema del límite superior establece que si Δ es una esfera simplicial de dimensión d − 1 con n vértices, entonces

Es decir, el número de caras de un politopo arbitrario nunca puede ser mayor que el número de caras de un politopo cíclico o vecino con la misma dimensión y número de vértices. Asintóticamente, esto implica que hay como máximo caras de todas las dimensiones. Los mismos límites también se aplican a los politopos convexos que no son simpliciales, ya que perturbar los vértices de dicho politopo (y tomar la envolvente convexa de los vértices perturbados) solo puede aumentar el número de caras.${\displaystyle \scriptstyle O(n^{\lpiso d/2\rpiso})}$

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