En física computacional , Monte Carlo variacional (VMC) es un método de Monte Carlo cuántico que aplica el método variacional para aproximar el estado fundamental de un sistema cuántico.
El bloque de construcción básico es una función de onda genérica dependiendo de algunos parámetros . Los valores óptimos de los parámetros luego se encuentra al minimizar la energía total del sistema.
En particular, dado el hamiltoniano , y denotando con una configuración de muchos cuerpos , el valor esperado de la energía se puede escribir como:
Siguiendo el método de Monte Carlo para evaluar integrales , podemos interpretarcomo una función de distribución de probabilidad , muestrearla y evaluar el valor esperado de energía como el promedio de la llamada energía local . Una vez es conocido por un conjunto dado de parámetros variacionales , luego se realiza la optimización para minimizar la energía y obtener la mejor representación posible de la función de onda del estado fundamental.
VMC no es diferente de cualquier otro método variacional, excepto que las integrales multidimensionales se evalúan numéricamente. La integración de Monte Carlo es particularmente crucial en este problema, ya que la dimensión del espacio de Hilbert de muchos cuerpos, que comprende todos los valores posibles de las configuraciones, normalmente crece exponencialmente con el tamaño del sistema físico. Por lo tanto, otros enfoques para la evaluación numérica de los valores esperados de energía limitarían, en general, las aplicaciones a sistemas mucho más pequeños que los analizables gracias al enfoque de Monte Carlo.
La precisión del método depende entonces en gran medida de la elección del estado variacional. La elección más simple normalmente corresponde a una forma de campo medio , donde el estadoestá escrito como una factorización sobre el espacio de Hilbert. Esta forma particularmente simple no suele ser muy precisa, ya que ignora los efectos de muchos cuerpos. Una de las mayores ganancias en precisión sobre la escritura de la función de onda de forma separada proviene de la introducción del llamado factor de Jastrow. En este caso, la función de onda se escribe como, dónde es la distancia entre un par de partículas cuánticas y es una función variacional por determinar. Con este factor, podemos explicar explícitamente la correlación partícula-partícula, pero la integral de muchos cuerpos se vuelve inseparable, por lo que Monte Carlo es la única forma de evaluarla de manera eficiente. En los sistemas químicos, versiones un poco más sofisticadas de este factor pueden obtener del 80 al 90% de la energía de correlación (ver correlación electrónica ) con menos de 30 parámetros. En comparación, un cálculo de interacción de configuración puede requerir alrededor de 50.000 parámetros para alcanzar esa precisión, aunque depende en gran medida del caso particular que se esté considerando. Además, VMC generalmente se escala como una pequeña potencia del número de partículas en la simulación, generalmente algo como N 2−4 para el cálculo del valor esperado de energía, dependiendo de la forma de la función de onda.
Optimización de la función de onda en VMC
Los cálculos de QMC dependen fundamentalmente de la calidad de la función de prueba, por lo que es esencial tener una función de onda optimizada lo más cerca posible del estado fundamental. El problema de la optimización de funciones es un tema de investigación muy importante en la simulación numérica. En QMC, además de las dificultades habituales para encontrar el mínimo de función paramétrica multidimensional, el ruido estadístico está presente en la estimación de la función de coste (habitualmente la energía), y sus derivadas, necesarias para una optimización eficiente.
Se utilizaron diferentes funciones de costos y diferentes estrategias para optimizar una función de prueba de muchos cuerpos. Por lo general, se utilizaron tres funciones de costos en la energía de optimización de QMC, la varianza o una combinación lineal de ellas. El método de optimización de la varianza tiene la ventaja de que se conoce la varianza exacta de la función de onda. (Debido a que la función de onda exacta es una función propia del hamiltoniano, la varianza de la energía local es cero). Esto significa que la optimización de la varianza es ideal porque está delimitada por abajo, tiene una definición positiva y se conoce su mínimo. Sin embargo, la minimización de energía puede resultar más efectiva en última instancia, ya que diferentes autores demostraron recientemente que la optimización de energía es más efectiva que la de varianza.
Hay diferentes motivaciones para esto: primero, generalmente uno está interesado en la energía más baja en lugar de en la varianza más baja en Monte Carlo variacional y de difusión; en segundo lugar, la optimización de la varianza requiere muchas iteraciones para optimizar los parámetros determinantes y, a menudo, la optimización puede atascarse en múltiples mínimos locales y sufre el problema de la "falsa convergencia"; Las terceras funciones de onda de energía minimizada producen en promedio valores más precisos de otros valores esperados que las funciones de onda de varianza minimizada.
Las estrategias de optimización se pueden dividir en tres categorías. La primera estrategia se basa en un muestreo correlacionado junto con métodos de optimización deterministas. Incluso si esta idea arrojó resultados muy precisos para los átomos de la primera fila, este procedimiento puede tener problemas si los parámetros afectan los nodos y, además, la relación de densidad de la función de prueba actual e inicial aumenta exponencialmente con el tamaño del sistema. En la segunda estrategia, se usa un contenedor grande para evaluar la función de costo y sus derivadas de tal manera que se puede despreciar el ruido y se pueden usar métodos deterministas.
El tercer enfoque, se basa en una técnica iterativa para manejar directamente con funciones de ruido. El primer ejemplo de estos métodos es la denominada Aproximación de gradiente estocástico (SGA), que también se utilizó para la optimización de estructuras. Recientemente, se propuso un enfoque mejorado y más rápido de este tipo, el llamado método de reconfiguración estocástica (SR).
VMC en el aprendizaje automático
En 2017, Giuseppe Carleo y Matthias Troyer [1] utilizaron una función objetivo de VMC para entrenar una red neuronal artificial para encontrar el estado fundamental de un sistema mecánico cuántico. De manera más general, la red neuronal artificial se está utilizando como una función de onda ansatz (conocida como estados cuánticos de la red neuronal ) en los marcos de VMC para encontrar estados fundamentales de sistemas mecánicos cuánticos.
Ver también
- Monte Carlo variacional dependiente del tiempo : una extensión del Monte Carlo variacional para estudiar la dinámica de los estados cuánticos puros .
Referencias
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