La conjetura de Vaught es una conjetura en el campo matemático de la teoría de modelos propuesta originalmente por Robert Lawson Vaught en 1961. Establece que el número de modelos contables de una teoría completa de primer orden en un lenguaje contable es finito o ℵ 0 o 2 ℵ 0 . Morley mostró que el número de modelos contables es finito o ℵ 0 o ℵ 1 o 2 ℵ 0 , lo que resuelve la conjetura excepto en el caso de los modelos ℵ 1 cuando falla la hipótesis del continuo. Para este caso restante, Robin Knight ( 2002 , 2007) ha anunciado un contraejemplo a la conjetura de Vaught y a la conjetura topológica de Vaught. A partir de 2016, no se ha verificado el contraejemplo.
Declaración de la conjetura
Dejar ser una teoría de primer orden, contable y completa con infinitos modelos. Dejardenotar el número de modelos de T de cardinalidadhasta el isomorfismo, el espectro de la teoría. Morley demostró que si I ( T , ℵ 0 ) es infinito, entonces debe ser ℵ 0 o ℵ 1 o la cardinalidad del continuo. La conjetura de Vaught es la afirmación de que no es posible. La conjetura es una consecuencia trivial de la hipótesis del continuo ; por lo que este axioma a menudo se excluye en el trabajo sobre la conjetura. Alternativamente, hay una forma más aguda de la conjetura que establece que cualquier T completo contable con incontables modelos contables tendrá un conjunto perfecto de modelos incontables (como señaló John Steel , en "Sobre la conjetura de Vaught". Cabal Seminar 76-77 ( Proc. Caltech-UCLA Logic Sem., 1976-1977), págs. 193-208, Lecture Notes in Math., 689, Springer, Berlín, 1978, esta forma de la conjetura de Vaught es equiparable con la original).
Formulación original
La formulación original de Vaught no se planteó como una conjetura, sino como un problema: ¿se puede probar, sin el uso de la hipótesis del continuo, que existe una teoría completa que tiene exactamente ℵ 1 modelos numerables no isomórficos? Por el resultado de Morley mencionado al principio, una solución positiva a la conjetura corresponde esencialmente a una respuesta negativa al problema de Vaught como se dijo originalmente.
Teorema de vaught
Vaught demostró que el número de modelos contables de una teoría completa no puede ser 2. Puede ser cualquier número finito distinto de 2, por ejemplo:
- Cualquier teoría completa con un modelo finito no tiene modelos contables.
- Las teorías con un solo modelo contable son las teorías-categóricas . Hay muchos ejemplos de estos, como la teoría de un conjunto infinito o la teoría de un orden total ilimitado denso.
- Ehrenfeucht dio el siguiente ejemplo de una teoría con 3 modelos contables: el lenguaje tiene una relación ≥ y un número contable de constantes c 0 , c 1 , ... con axiomas que indican que ≥ es un orden total denso e ilimitado, y c 0 < c 1 < c 2 ... Los tres modelos difieren según si esta secuencia es ilimitada, converge o está acotada pero no converge.
- El ejemplo de Ehrenfeucht se puede modificar para dar una teoría con cualquier número finito n ≥ 3 de modelos agregando n - 2 relaciones unarias P i al lenguaje, con axiomas que indiquen que para cada x exactamente uno de los P i es verdadero, los valores de y para los que P i ( y ) es verdadero son densos, y P 1 es verdadero para todo c i . Entonces, los modelos para los cuales la secuencia de elementos c i converge a un límite c se dividen en n - 2 casos dependiendo de para qué i la relación P i ( c ) es verdadera.
La idea de la demostración del teorema de Vaught es la siguiente. Si hay, como mucho, muchos modelos contables, entonces hay uno más pequeño: el modelo atómico , y uno más grande, el modelo saturado , que son diferentes si hay más de un modelo. Si son diferentes, el modelo saturado debe realizar algún tipo n omitido por el modelo atómico. Entonces se puede demostrar que un modelo atómico de la teoría de estructuras que realiza este tipo n (en un lenguaje expandido por un número finito de constantes) es un tercer modelo, no isomorfo ni al modelo atómico ni al saturado. En el ejemplo anterior con 3 modelos, el modelo atómico es aquel donde la secuencia es ilimitada, el modelo saturado es aquel donde la secuencia no converge, y un ejemplo de un tipo no realizado por el modelo atómico es un elemento mayor que todos los elementos de la secuencia.
Conjetura topológica de Vaught
La conjetura topológica de Vaught es la afirmación de que siempre que un grupo polaco actúa continuamente en un espacio polaco , hay muchas órbitas contables o muchas órbitas continuas. La conjetura topológica de Vaught es más general que la conjetura de Vaught original: dado un lenguaje contable, podemos formar el espacio de todas las estructuras en los números naturales de ese lenguaje. Si equipamos esto con la topología generada por fórmulas de primer orden, entonces se conoce de A. Gregorczyk , A. Mostowski , C. Ryll-Nardzewski , "Definibilidad de conjuntos de modelos de teorías axiomáticas" ( Boletín de la Academia Polaca de Sciences (serie Mathematics, Astronomy, Physics) , vol. 9 (1961), págs. 163–7) que el espacio resultante es polaco. Hay una acción continua del grupo simétrico infinito (la colección de todas las permutaciones de los números naturales con la topología de convergencia puntual) que da lugar a la relación de equivalencia de isomorfismo. Dada una teoría T completa de primer orden , el conjunto de estructuras que satisfacen T es un conjunto invariante cerrado mínimo y, por lo tanto, polaco por derecho propio.
Ver también
Referencias
- Knight, RW (2002), La conjetura de Vaught: un contraejemplo , manuscrito
- Knight, RW (2007), "Categorías de espacios topológicos y teorías dispersas" , Notre Dame Journal of Formal Logic , 48 (1): 53–77, doi : 10.1305 / ndjfl / 1172787545 , ISSN 0029-4527 , MR 2289897
- R. Vaught, "Modelos numerables de teorías completas", Métodos infinitistas (Proc. Symp. Foundations Math., Varsovia, 1959) Varsovia / Pergamon Press (1961) págs. 303–321
- L. Harrington , M. Makkai , S. Shelah : Una prueba de la conjetura de Vaught para las teorías ω-estables, Israel J. Math. , 49 (1984), 259-280.
- Marker, David (2002), Teoría de modelos: introducción , Textos de posgrado en matemáticas, 217 , Nueva York, NY: Springer-Verlag , ISBN 0-387-98760-6, Zbl 1003.03034