Superficie veronesa

En matemáticas , la superficie Veronese es una superficie algebraica en el espacio proyectivo de cinco dimensiones , y se realiza mediante la incrustación Veronese , la incrustación del plano proyectivo dado por el sistema lineal completo de cónicas . Lleva el nombre de Giuseppe Veronese (1854-1917). Su generalización a una dimensión superior se conoce como variedad Veronese .

La superficie admite una incrustación en el espacio proyectivo de cuatro dimensiones definido por la proyección desde un punto general en el espacio de cinco dimensiones. Su proyección general al espacio proyectivo tridimensional se denomina superficie Steiner .

Definición

La superficie de Veronese es la imagen del mapeo

${\displaystyle \nu :\mathbb {P} ^{2}\to \mathbb {P} ^{5}}$

dada por

${\displaystyle \nu :[x:y:z]\mapsto [x^{2}:y^{2}:z^{2}:yz:xz:xy]}$

donde denota coordenadas homogéneas . El mapa se conoce como incrustación de Veronese.${\displaystyle [x:\cdots ]}$${\displaystyle \nu }$

Motivación

La superficie veronesa surge de forma natural en el estudio de las cónicas . Una cónica es una curva plana de grado 2, definida por una ecuación:

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dxz+Eyz+Fz^{2}=0.}$

El emparejamiento entre coeficientes y variables es lineal en coeficientes y cuadrático en las variables; el mapa de Veronese lo hace lineal en los coeficientes y lineal en los monomios. Así, para un punto fijo, la condición de que una cónica contenga el punto es una ecuación lineal en los coeficientes, que formaliza el enunciado de que "pasar por un punto impone una condición lineal a las cónicas".${\displaystyle (A,B,C,D,E,F)}$${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle [x:y:z],}$

Mapa de Veronese

El mapa Veronese o variedad Veronese generaliza esta idea a mapeos de grado general d en n +1 variables. Es decir, el mapa veronés de grado d es el mapa

${\displaystyle \nu _{d}\colon \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{m}}$

con m dado por el coeficiente de conjuntos múltiples , o más familiarmente el coeficiente binomial , como:

${\displaystyle m=\left(\!\!{n+1 \choose d}\!\!\right)-1={n+d \choose d}-1.}$

El mapa envía a todos los posibles monomios de grado total d (de los que hay ); tenemos ya que hay variables para elegir; y restamos ya que el espacio proyectivo tiene coordenadas. La segunda igualdad muestra que para la dimensión de fuente fija n, la dimensión de destino es un polinomio en d de grado ny coeficiente principal${\displaystyle [x_{0}:\ldots :x_{n}]}$${\displaystyle m+1}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{m}}$${\displaystyle m+1}$${\displaystyle 1/n!.}$

Para bajo grado, es el mapa constante trivial de y es el mapa de identidad en, por lo que d generalmente se toma como 2 o más.${\displaystyle d=0}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{0},}$${\displaystyle d=1}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{n},}$

Se puede definir el mapa de Veronese sin coordenadas, como

${\displaystyle \nu _{d}:\mathbb {P} (V)\ni [v]\mapsto [v^{d}]\in \mathbb {P} ({\rm {{Sym}^{d}V)}}}$

donde V es cualquier espacio vectorial de dimensión finita, y son sus potencias simétricas de grado d . Esto es homogéneo de grado d bajo multiplicación escalar en V , y por lo tanto pasa a un mapeo en los espacios proyectivos subyacentes .${\displaystyle {\rm {{Sym}^{d}V}}}$

Si el espacio vectorial V se define sobre un campo K que no tiene característica cero , entonces la definición debe ser alterado de entenderse como una asignación al espacio dual de polinomios en V . Esto se debe a que para campos con característica finita p , las p- ésimas potencias de los elementos de V no son curvas normales racionales , sino que, por supuesto, son una línea. (Ver, por ejemplo, polinomio aditivo para un tratamiento de polinomios sobre un campo de característica finita).

Curva normal racional

Más información: Curva normal racional

Porque la variedad Veronese se conoce como la curva normal racional , de la cual los ejemplos de menor grado son familiares.${\displaystyle n=1,}$

• Porque el mapa de Veronese es simplemente el mapa de identidad en la línea proyectiva.${\displaystyle n=1,d=1}$
• Para la variedad Veronese es la parábola estándar en coordenadas afines${\displaystyle n=1,d=2,}$ ${\displaystyle [x^{2}:xy:y^{2}],}$${\displaystyle (x,x^{2}).}$
• Para la variedad Veronese es el cúbico retorcido , en coordenadas afines${\displaystyle n=1,d=3,}$${\displaystyle [x^{3}:x^{2}y:xy^{2}:y^{3}],}$${\displaystyle (x,x^{2},x^{3}).}$

Birregular

La imagen de una variedad bajo el mapa de Veronese es nuevamente una variedad, más que simplemente un conjunto construible ; además, estos son isomorfos en el sentido de que el mapa inverso existe y es regular : el mapa de Veronese es birregular . Más precisamente, las imágenes de conjuntos abiertos en la topología de Zariski están nuevamente abiertas.

Ver también

• La superficie Veronese es la única variedad Severi de dimensión 2

Referencias

• Joe Harris, Geometría algebraica, Un primer curso , (1992) Springer-Verlag, Nueva York. ISBN  0-387-97716-3