En matemáticas , particularmente en cálculo , una tangente vertical es una línea tangente que es vertical . Debido a que una línea vertical tiene pendiente infinita , una función cuya gráfica tiene una tangente vertical no es diferenciable en el punto de tangencia.
Definición de límite
Una función f tiene una tangente vertical en x = a si el cociente de diferencias utilizado para definir la derivada tiene un límite infinito :
El primer caso corresponde a una tangente vertical con pendiente ascendente y el segundo caso a una tangente vertical con pendiente descendente. Hablando informalmente, la gráfica de f tiene una tangente vertical en x = a si la derivada de f en a es infinito positivo o negativo.
Para una función continua , a menudo es posible detectar una tangente vertical tomando el límite de la derivada. Si
entonces f debe tener una tangente vertical con pendiente ascendente en x = a . Del mismo modo, si
entonces f debe tener una tangente vertical con pendiente descendente en x = a . En estas situaciones, la tangente vertical a f aparece como una asíntota vertical en la gráfica de la derivada.
Cúspides verticales
Estrechamente relacionadas con las tangentes verticales están las cúspides verticales . Esto ocurre cuando las derivadas unilaterales son infinitas, pero una es positiva y la otra es negativa. Por ejemplo, si
entonces la gráfica de f tendrá una cúspide vertical que se inclina hacia arriba en el lado izquierdo y hacia abajo en el lado derecho.
Al igual que con las tangentes verticales, las cúspides verticales a veces se pueden detectar para una función continua examinando el límite de la derivada. Por ejemplo, si
entonces la gráfica de ƒ tendrá una cúspide vertical en x = a que se inclina hacia abajo en el lado izquierdo y hacia arriba en el lado derecho. Esto corresponde a una asíntota vertical en la gráfica de la derivada que va a a la izquierda y a la derecha.
Ejemplo
La función
tiene una tangente vertical en x = 0, ya que es continua y
Del mismo modo, la función
tiene una cúspide vertical en x = 0, ya que es continua,
y
Referencias
- Tangentes y cúspides verticales . Consultado el 12 de mayo de 2006.