En el tema matemático de la teoría de grupos , el teorema de Stallings sobre los extremos de los grupos establece que un grupo G generado finitamente tiene más de un extremo si y solo si el grupo G admite una descomposición no trivial como un producto libre amalgamado o una extensión HNN sobre un finito subgrupo . En el lenguaje moderno de la teoría de Bass-Serre, el teorema dice que un grupo G generado finitamente tiene más de un final si y solo si G admite una acción no trivial (es decir, sin un punto fijo global) en un árbol simplicial con estabilizadores de borde finitos y sin inversiones de borde.
El teorema fue probado por John R. Stallings , primero en el caso libre de torsión (1968) [1] y luego en el caso general (1971). [2]
Extremos de gráficas
Sea Γ una gráfica conectada donde el grado de cada vértice es finito. Se puede ver a Γ como un espacio topológico dándole la estructura natural de un complejo celular unidimensional . Entonces los extremos de Γ son los extremos de este espacio topológico. A continuación, se presenta una definición más explícita del número de extremos de un gráfico para que esté completo.
Sea n ≥ 0 un número entero no negativo. Se dice que la gráfica Γ satisface e (Γ) ≤ n si para cada colección finita F de aristas de Γ la gráfica Γ - F tiene como máximo n infinitas componentes conectadas . Por definición, e (Γ) = m si e (Γ) ≤ my si para cada 0 ≤ n < m el enunciado e (Γ) ≤ n es falso. Por lo tanto, e (Γ) = m si m es el número entero no negativo más pequeño n tal que e (Γ) ≤ n . Si no existe un número entero n ≥ 0 tal que e (Γ) ≤ n , ponga e (Γ) = ∞. El número e (Γ) se llama el número de extremos de Γ.
De manera informal, e (Γ) es el número de "componentes conectados en el infinito" de Γ. Si e (Γ) = m <∞, entonces para cualquier conjunto finito F de aristas de Γ existe un conjunto finito K de aristas de Γ con F ⊆ K tal que Γ - F tiene exactamente m infinitos componentes conectados. Si e (Γ) = ∞, entonces para cualquier conjunto finito F de aristas de Γ y para cualquier entero n ≥ 0 existe un conjunto finito K de aristas de Γ con F ⊆ K tal que Γ - K tiene al menos n infinitos conectados componentes.
Extremos de grupos
Sea G un grupo finitamente generado . Deje S ⊆ G sea un finito grupo electrógeno de G y dejar Γ ( G , S ) sea el gráfico de Cayley de G con respecto a S . El número de extremos de G se define como e ( G ) = e (Γ ( G , S )). Un hecho básico en la teoría de fines de grupos dice que e (Γ ( G , S )) no depende de la elección de un conjunto generador finito S de G , por lo que e ( G ) está bien definido.
Hechos y ejemplos básicos
- Para un grupo G generado finitamente tenemos e ( G ) = 0 si y solo si G es finito.
- Para el grupo cíclico infinito tenemos
- Para el grupo abeliano libre de rango dos tenemos
- Para un grupo libre F ( X ) donde 1 <| X | <∞ tenemos e ( F ( X )) = ∞
Teoremas de Freudenthal-Hopf
Hans Freudenthal [3] e independientemente Heinz Hopf [4] establecieron en la década de 1940 los siguientes dos hechos:
- Para cualquier grupo G generado de forma finita tenemos e ( G ) ∈ {0, 1, 2, ∞}.
- Para cualquier grupo G generado finitamente tenemos e ( G ) = 2 si y solo si G es virtualmente cíclico infinito (es decir, G contiene un subgrupo cíclico infinito de índice finito ).
Charles TC Wall demostró en 1967 el siguiente hecho complementario: [5]
- Un grupo G es virtualmente cíclico infinito si y solo si tiene un subgrupo normal finito W tal que G / W sea cíclico infinito o diedro infinito .
Cortes y conjuntos casi invariantes
Deje que G sea un grupo finitamente generado , S ⊆ G sea un finito grupo electrógeno de G y dejar Γ = Γ ( G , S ) Sea el gráfico de Cayley de G con respecto a S . Para un subconjunto A ⊆ G denotamos por A * el complemento G - A de A en G .
Para un subconjunto A ⊆ G , el límite del borde o el co-límite δA de A consta de todos los bordes (topológicos) de Γ que conectan un vértice de A con un vértice de A ∗ . Tenga en cuenta que, por definición, δA = δA ∗ .
Un par ordenado ( A , A ∗ ) se llama corte en Γ si δA es finito. Un corte ( A , A ∗ ) se llama esencial si ambos conjuntos A y A ∗ son infinitos.
Un subconjunto A ⊆ G se llama casi invariante si para cada g ∈ G la diferencia simétrica entre A y Ag es finita. Es fácil ver que ( A , A ∗ ) es un corte si y solo si los conjuntos A y A ∗ son casi invariantes (de manera equivalente, si y solo si el conjunto A es casi invariante).
Cortes y puntas
Una observación simple pero importante dice:
- e ( G )> 1 si y solo si existe al menos un corte esencial ( A , A ∗ ) en Γ.
Cortes y escisiones sobre grupos finitos
Si G = H ∗ K donde H y K son grupos generados finitamente no triviales , entonces la gráfica de Cayley de G tiene al menos un corte esencial y, por lo tanto, e ( G )> 1. De hecho, sean X e Y conjuntos generadores finitos para H y K en consecuencia para que S = X ∪ y es un conjunto de generación finita para G y dejar Γ = Γ ( G , S ) sea el gráfico de Cayley de G con respecto a S . Deje A consisten en el elemento trivial y todos los elementos de G cuya forma normal expresiones para G = H * K comienza con un elemento no trivial de H . Por lo tanto A * consiste en todos los elementos de G cuya forma normal expresiones para G = H * K comienza con un elemento no trivial de K . No es difícil ver que ( A , A ∗ ) es un corte esencial en Γ de modo que e ( G )> 1.
Una versión más precisa de este argumento muestra que para un grupo G generado finitamente :
- Si G = H ∗ C K es un producto libre con amalgama donde C es un grupo finito tal que C ≠ H y C ≠ K entonces H y K se generan finitamente ye ( G )> 1.
- Si es un HNN-extensión donde C 1 , C 2 son finitos isomorfos subgrupos de H entonces G es un grupo finito y e ( G )> 1.
El teorema de Stallings muestra que lo contrario también es cierto.
Declaración formal del teorema de Stallings
Sea G un grupo finitamente generado .
Entonces e ( G )> 1 si y solo si se cumple una de las siguientes condiciones:
- El grupo G admite un desdoblamiento G = H * C K como un producto libre con amalgama donde C es un grupo finito de tal manera que C ≠ H y C ≠ K .
- El grupo G es una extensión HNN dónde y C 1 , C 2 son finitos isomorfos subgrupos de H .
En el lenguaje de la teoría de Bass-Serre, este resultado puede reformularse de la siguiente manera: Para un grupo G generado finitamente tenemos e ( G )> 1 si y solo si G admite una acción no trivial (es decir, sin un vértice global fijo) en un árbol simplicial con estabilizadores de borde finitos y sin inversiones de borde.
Para el caso donde G es un grupo generado finitamente libre de torsión , el teorema de Stallings implica que e ( G ) = ∞ si y solo si G admite una descomposición adecuada del producto libre G = A ∗ B con A y B no triviales.
Aplicaciones y generalizaciones
- Entre las aplicaciones inmediatas del teorema de Stallings se encontraba una prueba de Stallings [6] de una conjetura de larga data de que todo grupo de dimensión cohomológica uno generado finitamente es libre y que todo grupo libre de torsión virtualmente libre es libre.
- El teorema de Stallings también implica que la propiedad de tener una división no trivial sobre un subgrupo finito es una cuasi-isometría invariante de un grupo finitamente generado, ya que el número de extremos de un grupo finitamente generado se ve fácilmente como una cuasi-isometría invariante. Por esta razón, se considera que el teorema de Stallings es uno de los primeros resultados en la teoría de grupos geométricos .
- El teorema de Stallings fue un punto de partida para la teoría de la accesibilidad de Dunwoody . Se dice que un grupo G generado de forma finita es accesible si el proceso de división no trivial iterada de G en subgrupos finitos siempre termina en un número finito de pasos. En teoría Bass-Serre términos que el número de aristas en un desdoblamiento reducido de G como grupo fundamental de un gráfico de grupos con grupos de borde finitos está limitada por alguna constante en función de G . Dunwoody demostró [7] que todo grupo presentado de forma finita es accesible, pero que existen grupos generados de forma finita que no son accesibles. [8] Linnell [9] mostró que si se limita el tamaño de los subgrupos finitos sobre los que se toman las escisiones, entonces cada grupo generado finitamente es accesible también en este sentido. Estos resultados a su vez dieron lugar a otras versiones de accesibilidad como Bestvina -Feighn accesibilidad [10] de grupos finitamente presentados (donde se consideran las denominadas escisiones "pequeñas"), accesibilidad cilíndrica, [11] [12] accesibilidad fuerte, [13] y otros.
- El teorema de Stallings es una herramienta clave para demostrar que un grupo G generado finitamente es virtualmente libre si y solo si G puede representarse como el grupo fundamental de un gráfico finito de grupos donde todos los grupos de vértices y aristas son finitos (ver, por ejemplo, [14] ).
- Usando el resultado de accesibilidad de Dunwoody, el teorema de Stallings sobre los extremos de los grupos y el hecho de que si G es un grupo presentado de forma finita con una dimensión asintótica 1, entonces G es virtualmente libre [15] se puede demostrar [16] que para un grupo hiperbólico de palabras presentado de manera finita G el límite hiperbólico de G tiene dimensión topológica cero si y solo si G es virtualmente libre.
- También se han considerado versiones relativas del teorema de Stallings y extremos relativos de grupos generados finitamente con respecto a subgrupos. Para un subgrupo H ≤ G de un grupo finito G se define el número de extremos relativa e ( G , H ) como el número de extremos de la gráfica Cayley relativa (el gráfico de clase lateral Schreier ) de G con respecto a H . El caso en el que e ( G , H )> 1 se llama un semi-división de G sobre H . Scott, [17] Swarup, [18] y otros realizaron los primeros trabajos sobre semi-escisiones, inspirados en el teorema de Stallings, en las décadas de 1970 y 1980 . [19] [20] El trabajo de Sageev [21] y Gerasimov [22] en la década de 1990 mostró que para un subgrupo H ≤ G la condición e ( G , H )> 1 corresponde al grupo G que admite una acción isométrica esencial en un cubo CAT (0) donde un subgrupo conmensurable con H estabiliza un "hiperplano" esencial (un árbol simplicial es un ejemplo de un cubo CAT (0) donde los hiperplanos son los puntos medios de los bordes). En ciertas situaciones, tal semi-división se puede promover a una división algebraica real, típicamente sobre un subgrupo conmensurable con H , como en el caso donde H es finito (teorema de Stallings). Otra situación en la que se puede obtener una división real (módulo algunas excepciones) es para las semi-divisiones en subgrupos virtualmente policíclicos . En este caso, Scott-Swarup [23] y Bowditch trataron el caso de las semi-divisiones de grupos hiperbólicos de palabras sobre subgrupos de dos extremos (prácticamente cíclicos infinitos) . [24] El caso de semi-escisiones de grupos generados finitamente con respecto a subgrupos virtualmente policíclicos es tratado por el teorema algebraico del toro de Dunwoody-Swenson. [25]
- Otros han obtenido una serie de nuevas demostraciones del teorema de Stallings después de la demostración original de Stallings. Dunwoody dio una prueba [26] basada en las ideas de cortes de borde. Más tarde, Dunwoody también dio una prueba del teorema de Stallings para grupos presentados de forma finita utilizando el método de "pistas" en complejos 2 finitos. [7] Niblo obtuvo una prueba [27] del teorema de Stallings como consecuencia de la versión relativa del cubo CAT (0) de Sageev, donde el cubo CAT (0) finalmente se promueve a ser un árbol. El artículo de Niblo también define una obstrucción teórica de grupo abstracta (que es una unión de clases dobles de H en G ) para obtener una división real a partir de una semi-división. También es posible probar el teorema de Stallings para grupos presentados finitamente usando técnicas de geometría de Riemann de superficies mínimas , donde uno primero se da cuenta de un grupo presentado finitamente como el grupo fundamental de un 4-múltiple compacto (ver, por ejemplo, un bosquejo de este argumento en el artículo de encuesta de Wall [28] ). Gromov esbozó una prueba (ver págs. 228-230 en [16] ) donde el argumento de superficies mínimas es reemplazado por un argumento de análisis armónico más fácil y este enfoque fue impulsado por Kapovich para cubrir el caso original de grupos generados finitamente. [15] [29]
Ver también
- Producto gratis con amalgama.
- Extensión HNN
- Teoría de Bass-Serre
- Gráfica de grupos
- Teoría de grupos geométricos
Notas
- ^ John R. Stallings. En grupos libres de torsión con infinitos extremos. Annals of Mathematics (2), vol. 88 (1968), págs. 312–334
- ^ John Stallings. Teoría de grupos y variedades tridimensionales. Una conferencia de James K. Whittemore sobre matemáticas impartida en la Universidad de Yale, 1969. Monografías de matemáticas de Yale, 4. Yale University Press, New Haven, Connecticut-Londres, 1971.
- ^ H. Freudenthal. Über die Enden diskreter Räume und Gruppen. Comentario. Matemáticas. Helv. 17, (1945). 1-38.
- ^ H. Hopf. Enden offener Räume und unendliche diskontinuierliche Gruppen. Comentario. Matemáticas. Helv. 16, (1944). 81-100
- ^ Lema 4.1 en CTC Wall, Complejos de Poincaré: I. Annals of Mathematics, Segunda serie, vol. 86, núm. 2 (septiembre de 1967), págs. 213-245
- ^ John R. Stallings. Los grupos de dimensión 1 son localmente gratuitos. Boletín de la American Mathematical Society, vol. 74 (1968), págs. 361–364
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- ^ MJ Dunwoody. Un grupo inaccesible . Teoría de grupos geométricos, vol. 1 (Sussex, 1991), págs. 75–78, Serie de notas de conferencia de la London Mathematical Society, vol. 181, Cambridge University Press, Cambridge, 1993; ISBN 0-521-43529-3
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- ^ Pared de CTC. La geometría de los grupos abstractos y sus escisiones. Revista Matemática Complutense vol. 16 (2003), núm. 1, págs. 5–101
- ^ M. Kapovich. Energía de funciones armónicas y prueba de Gromov del teorema de Stallings , preimpresión, 2007, arXiv: 0707.4231