En matemáticas , el teorema de rigidez de Mostow , o teorema de rigidez fuerte , o teorema de rigidez de Mostow-Prasad , esencialmente establece que la geometría de una variedad hiperbólica completa de volumen finito de dimensión mayor que dos está determinada por el grupo fundamental y por lo tanto única. El teorema fue probado para variedades cerradas por Mostow ( 1968 ) y extendido a variedades de volumen finito por Marden (1974) en 3 dimensiones, y por Prasad ( 1973 ) en todas las dimensiones al menos 3. Gromov (1981)dio una prueba alternativa utilizando la norma de Gromov . {{harvtxt | Besson, Courtois y Gallot | 1996} https://www.researchgate.net/profile/Gilles_Courtois2/publication/231902765_Minimal_entropy_and_Mostow's_rigidity_theorems/links/02e7e538a32469eacc000000.pdf} dio la prueba más simple disponible}.
Mientras que el teorema muestra que el espacio de deformación de estructuras hiperbólicas (completas) en un volumen finito hiperbólico -manifold (para ) es un punto, para una superficie hiperbólica del género hay un módulo de espacio de dimensiónque parametriza todas las métricas de curvatura constante (hasta difeomorfismo ), hecho fundamental para la teoría de Teichmüller . También existe una rica teoría de los espacios de deformación de estructuras hiperbólicas en variedades de volumen infinito en tres dimensiones.
El teorema
El teorema se puede dar en una formulación geométrica (perteneciente a variedades completas de volumen finito) y en una formulación algebraica (perteneciente a retículas en grupos de Lie).
Forma geométrica
Dejar ser el -espacio hiperbólico dimensional . Una variedad hiperbólica completa se puede definir como un cociente depor un grupo de isometrías que actúan libre y propiamente discontinuamente (equivale a definirlo como una variedad riemanniana con curvatura seccional -1 que es completa ). Es de volumen finito si la integral de una forma de volumen es finita (que es el caso, por ejemplo, si es compacta). El teorema de rigidez de Mostow se puede establecer como:
- Suponer y son variedades hiperbólicas completas de volumen finito de dimensión . Si existe un isomorfismo entonces es inducida por una isometría única de a .
Aquí es el grupo fundamental de una variedad. Si es una variedad hiperbólica obtenida como el cociente de por un grupo luego .
Una afirmación equivalente es que cualquier equivalencia de homotopía de a se puede homologar a una isometría única. La prueba realmente muestra que si tiene una dimensión mayor que entonces no puede haber equivalencia de homotopía entre ellos.
Forma algebraica
El grupo de isometrías del espacio hiperbólico. se puede identificar con el grupo de Lie (el grupo ortogonal proyectivo de una forma cuadrática de firma . Entonces la siguiente declaración es equivalente a la anterior.
- Dejar y y ser dos celosías en y supongamos que hay un isomorfismo de grupo . Luego y se conjugan en . Es decir, existe un tal que .
En mayor generalidad
La rigidez de Mostow se mantiene (en su formulación geométrica) de manera más general para los grupos fundamentales de todos los espacios localmente simétricos completos y de volumen finito de dimensión al menos 3, o en su formulación algebraica para todas las celosías en grupos de Lie simples no localmente isomórficos a.
Aplicaciones
Del teorema de la rigidez de Mostow se deduce que el grupo de isometrías de un n- múltiple hiperbólico de volumen finito M (para n > 2) es finito e isomórfico a.
Thurston también utilizó la rigidez de Mostow para probar la singularidad de las representaciones de empaquetamiento circular de gráficos planos triangulados [ cita requerida ] .
Una consecuencia de la rigidez del interés de Mostow en la teoría de grupos geométricos es que existen grupos hiperbólicos que son cuasi-isométricos pero no conmensurables entre sí.
Ver también
- Superrigidez , un resultado más fuerte para espacios de rango superior
- Rigidez local , resultado de deformaciones que no son necesariamente celosías.
Referencias
- Besson, Gérard; Courtois, Gilles; Gallot, Sylvestre (1996), "Entropía mínima y teoremas de rigidez de Mostow", Teoría ergódica y sistemas dinámicos , 16 (4): 623–649, doi : 10.1017 / S0143385700009019
- Gromov, Michael (1981), "Variedades hiperbólicas (según Thurston y Jørgensen)" , Seminario de Bourbaki, vol. 1979/80 (PDF) , Lecture Notes in Math., 842 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 40–53, doi : 10.1007 / BFb0089927 , ISBN 978-3-540-10292-2, MR 0636516 , archivado desde el original el 10 de enero de 2016
- Marden, Albert (1974), "La geometría de los grupos kleinianos generados finitamente", Annals of Mathematics , Second Series, 99 (3): 383–462, doi : 10.2307 / 1971059 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1971059 , MR 0349992 , Zbl 0282.30014
- Mostow, GD (1968), " Mapeos cuasi-conformes en el espacio n y la rigidez de las formas del espacio hiperbólico" , Publ. Matemáticas. IHES , 34 : 53–104, doi : 10.1007 / bf02684590
- Mostow, GD (1973), Fuerte rigidez de espacios localmente simétricos , Anales de estudios matemáticos, 78 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08136-6, MR 0385004
- Prasad, Gopal (1973), "Fuerte rigidez de celosías de rango Q 1", Inventiones Mathematicae , 21 (4): 255–286, doi : 10.1007 / BF01418789 , ISSN 0020-9910 , MR 0385005
- Spatzier, RJ (1995), "Análisis armónico en la teoría de la rigidez", en Petersen, Karl E .; Salama, Ibrahim A. (eds.), Teoría ergódica y su conexión con el análisis armónico, Actas de la Conferencia de Alejandría de 1993 , Cambridge University Press, págs. 153–205, ISBN 0-521-45999-0. (Proporciona un resumen de una gran variedad de teoremas de rigidez, incluidos los relacionados con los grupos de Lie, los grupos algebraicos y la dinámica de flujos. Incluye 230 referencias).
- Thurston, William (1978-1981), La geometría y topología de tres variedades , notas de la conferencia de Princeton. (Da dos pruebas: una similar a la prueba original de Mostow y otra basada en la norma Gromov )