En matemáticas , las desigualdades sistólicas para curvas en superficies fueron estudiadas por primera vez por Charles Loewner en 1949 (inédito; ver la observación al final del artículo de PM Pu en el '52). Dada una superficie cerrada , su sístole , denominada sys , se define como la longitud mínima de un bucle que no puede contraerse a un punto de la superficie. El área sistólica de una métrica se define como la relación área / sys 2 . La razón sistólica SR es la cantidad recíproca sys 2 / área. Consulte también Introducción a la geometría sistólica .
Toro
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/8/8c/TorusSystoleLoop.png/200px-TorusSystoleLoop.png)
En 1949, Loewner demostró su desigualdad para las métricas del toro T 2 , a saber, que la relación sistólica SR (T 2 ) está acotada arriba por, con igualdad en el caso plano (curvatura constante) del toro equilátero (ver celosía hexagonal ).
Plano proyectivo real
Un resultado similar lo da la desigualdad de Pu para el plano proyectivo real de 1952, debido a Pao Ming Pu , con un límite superior de π / 2 para la razón sistólica SR (RP 2 ), también alcanzado en el caso de curvatura constante.
Botella de klein
Para la botella de Klein K , Bavard (1986) obtuvo un límite superior óptimo de para la relación sistólica:
basado en el trabajo de Blatter de la década de 1960.
Género 2
Una superficie orientable del género 2 satisface el límite de Loewner , ver (Katz-Sabourau '06). Se desconoce si todas las superficies de los géneros positivos satisfacen o no el límite de Loewner. Se conjetura que todos lo hacen. La respuesta es afirmativa para el género 20 y superior por (Katz-Sabourau '05).
Género arbitrario
Para una superficie cerrada del género g , Hebda y Burago (1980) mostraron que la relación sistólica SR (g) está limitada por encima de la constante 2. Tres años más tarde, Mikhail Gromov encontró un límite superior para SR (g) dado por una constante veces
Buser y Sarnak obtuvieron un límite inferior similar (con una constante menor). Es decir, exhibieron superficies aritméticas hiperbólicas de Riemann con sístole comportándose como una constante de tiempos. Tenga en cuenta que el área es 4π (g-1) del teorema de Gauss-Bonnet, por lo que SR (g) se comporta asintóticamente como una constante de tiempos.
El estudio del comportamiento asintótico para géneros grandes. de la sístole de superficies hiperbólicas revela algunas constantes interesantes. Por lo tanto, Hurwitz emerge definido por una torre de subgrupos de congruencia principal del grupo de triángulo hiperbólico (2,3,7) satisfacen el límite
resultante de un análisis del orden de cuaterniones de Hurwitz . Un límite similar es válido para grupos fucsianos aritméticos más generales . Este resultado de 2007 de Mikhail Katz , Mary Schaps y Uzi Vishne mejora una desigualdad debida a Peter Sarnak y Peter Buser en el caso de grupos aritméticos definidos sobre, de 1994, que contenía una constante aditiva distinta de cero. Para las superficies de Hurwitz de tipo de congruencia principal, la razón sistólica SR (g) es asintótica a
Usando la desigualdad de entropía de Katok, se encontró el siguiente límite superior asintótico para SR (g) en (Katz-Sabourau 2005):
ver también (Katz 2007), p. 85. Combinando las dos estimaciones, se obtienen límites estrechos para el comportamiento asintótico de la relación sistólica de superficies.
Esfera
También hay una versión de la desigualdad para métricas en la esfera, para el invariante L definido como la longitud mínima de una geodésica cerrada de la métrica. En '80, Gromov conjeturó un límite inferior depara la relación área / L 2 . Nabutovsky , Rotman y Sabourau han mejorado recientemente un límite inferior de 1/961 obtenido por Croke en 1988 .
Ver también
Referencias
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- Buser, P .; Sarnak, P. (1994). "En la matriz de período de una superficie de Riemann de gran género (con un apéndice de JH Conway y NJA Sloane)". Inventiones Mathematicae . 117 (1): 27–56. Código Bibliográfico : 1994InMat.117 ... 27B . doi : 10.1007 / BF01232233 .
- Gromov, M. (1983). "Llenado de colectores riemannianos" . J. Diff. Geom. 18 (1): 1-147. doi : 10.4310 / jdg / 1214509283 . Señor 0697984 .
- Hebda, J. (1981/82). "Algunos límites inferiores para el área de superficies". Inventar. Matemáticas . 65 (3): 485–490. Código Bibliográfico : 1982InMat..65..485H . doi : 10.1007 / BF01396632 . Verifique los valores de fecha en:
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