Secuencia espectral
En álgebra homológica y topología algebraica , una secuencia espectral es un medio de calcular grupos de homología tomando aproximaciones sucesivas. Las secuencias espectrales son una generalización de secuencias exactas , y desde su introducción por Jean Leray ( 1946a , 1946b ), se han convertido en importantes herramientas computacionales, particularmente en topología algebraica , geometría algebraica y álgebra homológica .
Motivado por problemas en la topología algebraica , Jean Leray introdujo la noción de haz y se enfrentó al problema de calcular la cohomología del haz . Para calcular la cohomología de la gavilla, Leray introdujo una técnica computacional ahora conocida como secuencia espectral de Leray . Esto dio una relación entre los grupos de cohomología de una gavilla y los grupos de cohomología del empuje hacia adelante de la gavilla . La relación implicó un proceso infinito. Leray descubrió que los grupos de cohomología del empuje hacia adelante formaban un complejo de cadena natural, para que pudiera tomar la cohomología de la cohomología. Esta todavía no era la cohomología de la gavilla original, pero en cierto sentido estaba un paso más cerca. La cohomología de la cohomología volvió a formar un complejo de cadena, y su cohomología formó un complejo de cadena, y así sucesivamente. El límite de este proceso infinito era esencialmente el mismo que el de los grupos de cohomología de la gavilla original.
Pronto se comprendió que la técnica computacional de Leray era un ejemplo de un fenómeno más general. Se encontraron secuencias espectrales en diversas situaciones, y dieron intrincadas relaciones entre grupos de homología y cohomología provenientes de situaciones geométricas como fibraciones y de situaciones algebraicas que involucran functores derivados . Si bien su importancia teórica ha disminuido desde la introducción de las categorías derivadas , siguen siendo la herramienta computacional más eficaz disponible. Esto es cierto incluso cuando muchos de los términos de la secuencia espectral son incalculables.
Desafortunadamente, debido a la gran cantidad de información contenida en secuencias espectrales, son difíciles de captar. Esta información suele estar contenida en una red de rango tres de grupos o módulos abelianos . Los casos más fáciles de tratar son aquellos en los que la secuencia espectral finalmente colapsa, lo que significa que avanzar más en la secuencia no produce nueva información. Incluso cuando esto no sucede, a menudo es posible obtener información útil de una secuencia espectral mediante varios trucos.
Corrija una categoría abeliana , como una categoría de módulos sobre un anillo , y un número entero no negativo . Una secuencia espectral cohomológica es una secuencia de objetos y endomorfismos , tal que para cada
