En matemáticas , se pueden derivar ciertos functores para obtener otros functores estrechamente relacionados con los originales. Esta operación, aunque bastante abstracta, unifica una serie de construcciones a lo largo de las matemáticas.
Motivación
Se observó en varios escenarios bastante diferentes que una secuencia exacta corta a menudo da lugar a una "secuencia exacta larga". El concepto de functores derivados explica y aclara muchas de estas observaciones.
Supongamos que se nos da una covariante izquierda funtor exacto F : A → B entre dos categorías abelianas A y B . Si 0 → A → B → C → 0 es una secuencia corta exacta en A , entonces la aplicación de F produce la secuencia exacta 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) y uno podría preguntar cómo continuar esta secuencia a la derecha para formar una secuencia larga y exacta. Estrictamente hablando, esta pregunta está mal planteada, ya que siempre hay numerosas formas diferentes de continuar una secuencia exacta dada hacia la derecha. Pero resulta que (si A es "agradable" suficiente) hay una canónica forma de hacerlo, propuesta por el derecho derivado de funtores F . Para cada i ≥1, hay un functor R i F : A → B , y la secuencia anterior continúa así: 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) → R 1 F ( A ) → R 1 F ( B ) → R 1 F ( C ) → R 2 F ( A ) → R 2 F ( B ) → .... De esto vemos que F es un funtor exacto si y solo si R 1 F = 0; así que, en cierto sentido, los functores derivados de F miden "qué tan lejos" está F de ser exacto.
Si el objeto A en la breve secuencia exacta anterior es inyectivo , entonces la secuencia se divide . La aplicación de cualquier funtor aditivo a una secuencia dividida da como resultado una secuencia dividida, por lo que en particular R 1 F ( A ) = 0. Los functores derivados derechos (para i> 0 ) son cero en inyectivos: esta es la motivación para la construcción que se da a continuación.
Construcción y primeras propiedades
El supuesto fundamental que tenemos que hacer sobre nuestra categoría abeliana Una es que no tiene suficientes inyectivos , lo que significa que por cada objeto A en A existe una monomorphism A → I , donde I es un objeto inyectiva de A .
Los functores derivados de la derecha del functor covariante exacto de la izquierda F : A → B se definen de la siguiente manera. Comenzar con un objeto X de A . Debido a que hay suficientes inyectables, podemos construir una secuencia larga y exacta de la forma
donde los I i son todos inyectivos (esto se conoce como una resolución inyectiva de X ). Aplicando el funtor F a esta secuencia, y cortando el primer término, obtenemos el complejo de cadena
Nota: esto en general ya no es una secuencia exacta. Pero podemos calcular su cohomología en el i -ésimo punto (el núcleo del mapa desde F ( I i ) módulo la imagen del mapa hasta F ( I i )); llamamos al resultado R i F ( X ). Por supuesto, se deben verificar varias cosas: el resultado final no depende de la resolución inyectiva dada de X , y cualquier morfismo X → Y naturalmente produce un morfismo R i F ( X ) → R i F ( Y ), de modo que de hecho obtenemos un funtor. Tenga en cuenta que la exactitud a la izquierda significa que 0 → F ( X ) → F ( I 0 ) → F ( I 1 ) es exacta, por lo que R 0 F ( X ) = F ( X ), por lo que solo obtenemos algo interesante para i > 0 .
(Técnicamente, para producir derivadas bien definidas de F , tendríamos que fijar una resolución inyectiva para cada objeto de A. Esta elección de resoluciones inyectivas produce functores R i F. Diferentes elecciones de resoluciones producen functores naturalmente isomórficos , por lo que en el terminar la elección realmente no importa.)
La propiedad antes mencionada de convertir secuencias cortas exactas en secuencias largas y exactas es una consecuencia del lema de la serpiente . Esto nos dice que la colección de functores derivados es un functor δ .
Si X es en sí mismo inyectivo, entonces podemos elegir la resolución inyectiva 0 → X → X → 0, y obtenemos que R i F ( X ) = 0 para todo i ≥ 1. En la práctica, este hecho, junto con el largo exacto propiedad de secuencia, se utiliza a menudo para calcular los valores de los functores derivados de la derecha.
Una forma equivalente de calcular R i F ( X ) es la siguiente: tome una resolución inyectiva de X como arriba, y sea K i la imagen del mapa I i -1 → I i (para i = 0, defina I i -1 = 0), que es lo mismo que el núcleo de I i → I i +1 . Sea φ i : I i -1 → K i el mapa sobreyectivo correspondiente. Entonces R i F ( X ) es el cokernel de F (φ i ).
Variaciones
Si uno comienza con un functor covariante derecho-exacto G , y la categoría A tiene suficientes proyectivos (es decir, para cada objeto A de A existe un epimorfismo P → A donde P es un objeto proyectivo ), entonces se puede definir análogamente el izquierdo- funtores derivado L i G . Para un objeto X de A , primero construimos una resolución proyectiva de la forma
donde los P i son proyectivos. Aplicamos G a esta secuencia, cortamos el último término y calculamos la homología para obtener L i G ( X ). Como antes, L 0 G ( X ) = G ( X ).
En este caso, la secuencia larga exacta crecerá "hacia la izquierda" en lugar de hacia la derecha:
se convierte en
- .
Los functores derivados de la izquierda son cero en todos los objetos proyectivos.
También se puede comenzar con un funtor exacto a la izquierda contravariante F ; los functores derivados de la derecha resultantes también son contravariantes. La breve secuencia exacta
se convierte en la larga secuencia exacta
Estos functores derivados de la izquierda son cero en proyectivos y, por tanto, se calculan mediante resoluciones proyectivas.
Ejemplos de
- Si es una categoría abeliana, entonces su categoría de morfismos también es abeliano. El functorque asigna cada morfismo a su núcleo se deja exacto. Sus functores derivados correctos son
- Dually el functor es la derecha exacta y sus functores derivados de la izquierda son
- Esta es una manifestación del lema de la serpiente .
Homología y Cohomología
Cohomología de la gavilla
Si es un espacio topológico , entonces la categoríade todas las gavillas de grupos abelianos enes una categoría abeliana con suficientes inyecciones. El functor que asigna a cada una de esas gavillas el grupo de las secciones globales se deja exacto, y los functores derivados de la derecha son los functores de cohomología de gavilla , generalmente escritos como. Un poco más en general: sies un espacio anillado , entonces la categoría de todas las gavillas de-modules es una categoría abeliana con suficientes inyectores, y de nuevo podemos construir la cohomología de gavilla como los functores derivados correctos del functor de sección global.
Hay varias nociones de cohomología que son un caso especial de esto:
- Cohomología de de Rham es la cohomología gavilla de la gavilla de constante localmente -Funciones valoradas en un colector . El complejo De Rham es una resolución de esta gavilla no por gavillas inyectables, sino por gavillas finas .
- Étale cohomology es otra teoría de cohomología para gavillas sobre un esquema. Es el functor derivado correcto de las secciones globales de gavillas abelianas en el sitio étale .
Functores externos
Si es un anillo , entonces la categoría de todo lo que queda-modules es una categoría abeliana con suficientes inyecciones. Si es una izquierda fija -módulo, luego el functor es exactamente a la izquierda, y sus functores derivados de la derecha son los functores Ext . Alternativamente también se puede obtener como el funtor derivado a la izquierda del funtor exacto derecho .
Varias nociones de cohomología son casos especiales de functores externos y, por lo tanto, también functores derivados.
- La cohomología de grupo es el functor derivado correcto del functor invariantes que es lo mismo que (dónde es lo trivial -módulo) y por lo tanto .
- Cohomología del álgebra de Lie de un álgebra de Lie sobre algún anillo conmutativo es el functor derivado derecho del functor invariantes que es lo mismo que (dónde es de nuevo lo trivial -módulo y es el álgebra envolvente universal de). Por lo tanto.
- Cohomología Hochschild de algunos-álgebra es el functor derivado correcto de invariantes mapeo de un bimodule a su centro , también llamado su conjunto de invariantes que es lo mismo que (dónde es el álgebra envolvente de y se considera un -bimodule mediante la multiplicación habitual de izquierda y derecha). Por lo tanto:
Tor functors
La categoría de izquierda -modules también tiene suficientes proyectivos. Si es un derecho fijo -módulo, luego el producto tensorial con da un functor covariante exacto correcto ; La categoría de módulos tiene suficientes proyectivos para que siempre existan functores derivados izquierdos. Los functores derivados de la izquierda del functor tensorial son los functores Tor . Equivalentemente puede definirse simétricamente como los functores derivados de la izquierda de . De hecho, se pueden combinar ambas definiciones y definir como la izquierda derivada de .
Esto incluye varias nociones de homología como casos especiales. Esto a menudo refleja la situación con los functores externos y la cohomología.
- La homología de grupo es la derivada a la izquierda de tomar covariantes que es lo mismo que .
- La homología del álgebra de mentira es el functor derivado a la izquierda de tomar covariantes que es lo mismo que .
- La homología de Hochschild es el functor derivado a la izquierda de tomar covariantes que es lo mismo que .
En lugar de tomar functores individuales derivados de la izquierda, también se puede tomar el functor derivado total del functor tensorial. Esto da lugar al producto tensorial derivado dónde es la categoría derivada .
Naturalidad
Los functores derivados y las largas secuencias exactas son "naturales" en varios sentidos técnicos.
Primero, dado un diagrama conmutativo de la forma
(donde las filas son exactas), las dos secuencias exactas largas resultantes se relacionan mediante cuadrados de conmutación:
En segundo lugar, η supongamos que: F → G es una transformación natural del funtor exacto izquierda F a la funtor exacto izquierda G . Entonces transformaciones naturales R i eta: R i F → R i G son inducidos, y de hecho R i se convierte en un funtor de la categoría funtor de todos funtor exacto izquierda desde A a B a la categoría funtor completo de todos los funtores de A a B . Además, este funtor es compatible con las secuencias largas exactas en el siguiente sentido: si
es una breve secuencia exacta, luego un diagrama conmutativo
es inducido.
Ambas naturalidades se derivan de la naturalidad de la secuencia proporcionada por el lema de la serpiente .
Por el contrario, se cumple la siguiente caracterización de los functores derivados: dada una familia de functores R i : A → B , satisfaciendo lo anterior, es decir, mapeando secuencias cortas exactas con secuencias largas exactas, de modo que para cada objeto inyectivo I de A , R i ( I ) = 0 para cada i positivo , entonces estos functores son los functores derivados correctos de R 0 .
Generalización
El enfoque más moderno (y más general) de los functores derivados utiliza el lenguaje de categorías derivadas .
En 1968, Quillen desarrolló la teoría de estructuras modelo en una categoría, que dan un sistema teórico de categorías abstracto de fibraciones, cofibraciones y equivalencias débiles. Por lo general, uno está interesado en la categoría de homotopía subyacente obtenida al localizar contra las equivalencias débiles. Una adjunción de Quillen es una adjunción entre categorías de modelo que desciende a una adjunción entre las categorías de homotopía. Por ejemplo, la categoría de espacios topológicos y la categoría de conjuntos simpliciales admiten estructuras del modelo de Quillen cuyo nervio y adjunción de realización dan un adjunto de Quillen que de hecho es una equivalencia de categorías de homotopía. Los objetos particulares en una estructura modelo tienen "propiedades agradables" (relativas a la existencia de elevaciones contra morfismos particulares), los objetos "fibrantes" y "cofibrantes", y cada objeto es débilmente equivalente a una "resolución" fibrante-cofibrante.
Aunque originalmente se desarrolló para manejar la categoría de espacios topológicos, las estructuras modelo de Quillen aparecen en numerosos lugares en las matemáticas; en particular la categoría de complejos de cadena de cualquier categoría abeliana (módulos, haces de módulos en un espacio o esquema topológico , etc.) admite una estructura modelo cuyas equivalencias débiles son aquellos morfismos entre complejos de cadena que conservan la homología. A menudo tenemos un funtor entre dos categorías de modelo de este tipo (por ejemplo, el functor de secciones globales que envía un complejo de haces abelianos al complejo obvio de grupos abelianos) que conserva equivalencias débiles * dentro de la subcategoría de objetos "buenos" (fibrantes o cofibrantes). * Al tomar primero una resolución fibrante o cofibrante de un objeto y luego aplicar ese funtor, lo hemos extendido exitosamente a toda la categoría de tal manera que las equivalencias débiles siempre se conservan (y por lo tanto desciende a un funtor de la categoría de homotopía). Este es el "functor derivado". Los "functores derivados" de la cohomología de gavilla, por ejemplo, son las homologías de la salida de este functor derivado. Aplicando estos a un haz de grupos abelianos interpretados de manera obvia como un complejo concentrado en homología, miden el fracaso del functor de secciones globales para preservar equivalencias débiles de los mismos, su falla de "exactitud". La teoría general de las estructuras modelo muestra la singularidad de esta construcción (que no depende de la elección de la resolución fibrante o cofibrante, etc.)
Referencias
- Manin, Yuri Ivanovich ; Gelfand, Sergei I. (2003), Métodos de álgebra homológica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-43583-9
- Weibel, Charles A. (1994). Introducción al álgebra homológica . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. 38 . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-55987-4. Señor 1269324 . OCLC 36131259 .