En matemáticas, la métrica de Weil-Petersson es una métrica de Kähler en el espacio de Teichmüller T g , n del género g superficies de Riemann con n puntos marcados. Fue introducido por André Weil ( 1958 , 1979 ) utilizando el producto interior de Petersson en formas sobre una superficie Riemann (introducido por Hans Petersson ).
Definición
Si un punto del espacio Teichmüller está representado por una superficie de Riemann R , entonces el espacio cotangente en ese punto se puede identificar con el espacio de diferenciales cuadráticas en R . Dado que la superficie de Riemann tiene una métrica hiperbólica natural , al menos si tiene una característica de Euler negativa , se puede definir un producto interno hermitiano en el espacio de diferenciales cuadráticos mediante la integración sobre la superficie de Riemann. Esto induce un producto interno hermitiano en el espacio tangente a cada punto del espacio de Teichmüller y, por lo tanto, una métrica de Riemann.
Propiedades
Weil (1958) afirmó, y Ahlfors (1961) demostró, que la métrica de Weil-Petersson es una métrica de Kähler . Ahlfors (1961b) demostró que tiene curvaturas holomorfas de sección , escalares y de Ricci negativas . La métrica de Weil-Petersson generalmente no está completa.
Generalizaciones
La métrica de Weil-Petersson se puede definir de manera similar para algunos espacios de módulos de variedades de dimensiones superiores.
Referencias
- Ahlfors, Lars V. (1961), "Algunas observaciones sobre el espacio de Teichmüller de superficies de Riemann", Annals of Mathematics , Second Series, 74 (1): 171-191, doi : 10.2307 / 1970309 , hdl : 2027 / mdp.39015095258003 , JSTOR 1970309 , MR 0204641
- Ahlfors, Lars V. (1961b), "Propiedades de curvatura del espacio de Teichmüller", Journal d'Analyse Mathématique , 9 : 161-176, doi : 10.1007 / BF02795342 , hdl : 2027 / mdp.39015095248350 , MR 0136730 , S2CID 124921349
- Weil, André (1958), "Módulos de superficies de Riemann", Séminaire Bourbaki; 10e année: 1957/1958. Textes des conférences; Exposés 152à 168; 2e éd.corrigée, Exposé 168 (en francés), París: Secrétariat Mathématique, págs. 413–419, MR 0124485 , Zbl 0084.28102
- Weil, André (1979) [1958], "Sobre los módulos de superficies de Riemann", Trabajos científicos. Papeles recolectados. Vol. II (1951-1964) , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 381-389, ISBN 978-0-387-90330-9, MR 0537935
- Wolpert, Scott A. (2001) [1994], "Weil-Petersson_metric" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
- Wolpert, Scott A. (2009), "La geometría métrica de Weil-Petersson", en Papadopoulos, Athanase (ed.), Manual de la teoría de Teichmüller. Vol. II , Lect. De IRMA. Matemáticas. Theor. Phys., 13 , Eur. Matemáticas. Soc., Zúrich, págs. 47–64, arXiv : 0801.0175 , doi : 10.4171 / 055-1 / 2 , ISBN 978-3-03719-055-5, MR 2497791
- Wolpert, Scott A. (2010), Familias de superficies de Riemann y geometría de Weil-Petersson , CBMS Reg. Conf. Serie en Matemáticas, 113 , Amer. Matemáticas. Soc., Providence, Rhode Island, arXiv : 1202.4078 , doi : 10.1090 / cbms / 113 , ISBN 978-0-8218-4986-6, MR 2641916 , S2CID 7880175